어떤 문제인가
이 문제는 두 곡선 위의 서로 다른 점에서 그은 접선이 서로 일치(같은 직선)한다는 조건을 이용해서 삼차함수 $f(x)$를 구하는 문제입니다. 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 접선의 방정식: 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선의 방정식은 $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ 입니다.
- 곱의 미분법: 두 함수의 곱으로 이루어진 함수 $y = xf(x)$를 미분할 때는 $(uv)' = u'v + uv'$ 공식을 사용합니다.
- 두 직선이 일치할 조건: 두 직선 $y = m_1x + n_1$과 $y = m_2x + n_2$가 일치하려면 기울기도 같고($m_1 = m_2$), $y$절편도 같아야($n_1 = n_2$) 합니다.
단계별 풀이
1단계: 주어진 점의 좌표를 통해 함수 정보 얻기
먼저 문제에서 제시된 점들이 곡선 위의 점이라는 사실을 이용해 봅시다.
- 곡선 $y=f(x)$가 점 $(0, 0)$을 지나므로:
$$f(0) = 0$$
- 곡선 $y=xf(x)$가 점 $(1, 2)$를 지나므로, $x=1$을 대입하면:
$$1 \cdot f(1) = 2 \implies f(1) = 2$$
2단계: 첫 번째 접선의 방정식 구하기
곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(0, 0)$에서의 접선의 방정식을 구해봅시다.
이 점에서의 접선의 기울기는 $f'(0)$입니다. 따라서 접선의 방정식은 다음과 같습니다.
$$y - 0 = f'(0)(x - 0) \implies y = f'(0)x \quad \text{--- (식 1)}$$
3단계: 두 번째 접선의 방정식 구하기
이번에는 곡선 $y=xf(x)$ 위의 점 $(1, 2)$에서의 접선의 방정식을 구해야 합니다.
계산을 편하게 하기 위해 $g(x) = xf(x)$라고 놓겠습니다. 접선의 기울기인 $g'(1)$을 구하기 위해 곱의 미분법을 사용해 $g(x)$를 미분합니다.
$$g'(x) = (x)'f(x) + xf'(x) = f(x) + xf'(x)$$
여기에 $x=1$을 대입하면 $x=1$에서의 접선의 기울기가 됩니다.
$$g'(1) = f(1) + 1 \cdot f'(1)$$
앞서 1단계에서 $f(1) = 2$임을 구했으므로, 기울기는 다음과 같습니다.
$$g'(1) = 2 + f'(1)$$
이제 점 $(1, 2)$에서의 접선의 방정식을 세워봅시다.
$$y - 2 = (2 + f'(1))(x - 1)$$
이 식을 $y$에 대해 정리하면 다음과 같습니다.
$$y = (2 + f'(1))x - (2 + f'(1)) + 2$$
$$y = (2 + f'(1))x - f'(1) \quad \text{--- (식 2)}$$
4단계: 두 접선이 일치한다는 조건 사용하기
(식 1)과 (식 2)는 완전히 같은 직선입니다. 따라서 기울기와 **$y$절편**이 각각 같아야 합니다.
- **$y$절편 비교**: (식 1)의 $y$절편은 $0$이고, (식 2)의 $y$절편은 $-f'(1)$입니다.
$$0 = -f'(1) \implies f'(1) = 0$$
- 기울기 비교: 두 직선의 기울기가 같아야 하므로,
$$f'(0) = 2 + f'(1)$$
여기에 방금 구한 $f'(1) = 0$을 대입하면,
$$f'(0) = 2$$
5단계: 삼차함수 $f(x)$ 완성하고 $f'(2)$ 구하기
이제 우리가 알아낸 정보들을 종합해 봅시다.
- $f(0) = 0$
- $f(1) = 2$
- $f'(0) = 2$
- $f'(1) = 0$
$f(x)$는 삼차함수이므로 일반식을 다음과 같이 세울 수 있습니다.
$$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \quad (a \neq 0)$$
이를 미분한 도함수는 다음과 같습니다.
$$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$
하나씩 대입해 볼까요?
- $f(0) = 0 \implies d = 0$
- $f'(0) = 2 \implies c = 2$
이 값을 적용하면 함수와 도함수는 다음과 같이 간단해집니다.
$$f(x) = ax^3 + bx^2 + 2x$$
$$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + 2$$
이제 남은 두 조건 $f(1) = 2$와 $f'(1) = 0$을 대입해 $a$와 $b$를 구합니다.
- $f(1) = a + b + 2 = 2 \implies a + b = 0 \quad \text{--- (ㄱ)}$
- $f'(1) = 3a + 2b + 2 = 0 \implies 3a + 2b = -2 \quad \text{--- (ㄴ)}$
(ㄱ)에서 $b = -a$이므로, 이를 (ㄴ)에 대입하면:
$$3a + 2(-a) = -2 \implies a = -2$$
$$b = -(-2) = 2$$
따라서 도함수 $f'(x)$는 다음과 같습니다.
$$f'(x) = -6x^2 + 4x + 2$$
마지막으로 우리가 구하고자 하는 $f'(2)$의 값을 계산합니다.
$$f'(2) = -6(2)^2 + 4(2) + 2 = -24 + 8 + 2 = -14$$
답
정답은 **⑤ $-14$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> 질문: 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(1, 3)$에서의 접선의 방정식이 $y = 2x + 1$일 때, $f(1)$의 값과 $f'(1)$의 값은 각각 무엇일까요? (답은 구하지 말고 머릿속으로 개념만 떠올려 보세요!)