어떤 문제인가
이 문제는 주어진 탄젠트 함수 그래프 위의 점들로 이루어진 정삼각형의 넓이를 구하는 문제야. 문제를 풀기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같단다.
- 탄젠트 함수의 주기와 원점 대칭성: 탄젠트 함수 $y = \tan(kx)$의 주기와 기함수(원점 대칭) 성질을 이용해 점들의 좌표 사이의 관계를 밝혀냅니다.
- 정삼각형의 성질: 한 변의 길이가 $a$인 정삼각형의 높이는 $\frac{\sqrt{3}}{2}a$, 넓이는 $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$임을 이용합니다.
- 좌표의 대입: 구한 점의 좌표를 함수식에 대입하여 미지수 $a$의 값을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 탄젠트 함수의 주기와 대칭성 이해하기
먼저 주어진 함수 $f(x) = \tan \frac{\pi x}{a}$의 특징을 살펴볼까?
- **주기($T$) 구하기**: 탄젠트 함수의 기본 주기는 $\pi$야. 따라서 $f(x)$의 주기는 다음과 같아.
$$T = \frac{\pi}{\frac{\pi}{a}} = a$$
즉, 이 함수는 $a$를 주기로 같은 모양이 반복돼.
- 원점 대칭성: 탄젠트 함수는 원점 $\text{O}(0,0)$에 대해 대칭인 기함수야. 즉, $f(-x) = -f(x)$가 성립하지.
문제에서 원점 $\text{O}$를 지나는 직선이 그래프와 두 점 $\text{A}$, $\text{B}$에서 만난다고 했어. 원점을 지나는 직선과 원점 대칭인 곡선의 교점이므로, **점 $\text{A}$와 점 $\text{B}$는 원점에 대해 대칭**이야!
따라서 점 $\text{B}$의 좌표를 $(x_0, y_0)$ (단, $x_0 > 0, y_0 > 0$)라고 두면, 점 $\text{A}$의 좌표는 다음과 같이 나타낼 수 있어.
$$\text{A}(-x_0, -y_0)$$
2단계: 점 $\text{C}$의 좌표와 선분 $\text{AC}$의 길이 구하기
점 $\text{A}$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 그래프와 만나는 또 다른 점을 $\text{C}$라고 했어.
- $x$축에 평행하므로 점 $\text{C}$의 $y$좌표는 점 $\text{A}$와 같은 $-y_0$야.
- 탄젠트 함수에서 $y$값이 같은 이웃한 두 점 사이의 거리는 바로 함수의 주기와 같단다.
- 따라서 선분 $\text{AC}$의 길이는 주기인 $a$가 돼.
$$\text{AC} = a$$
- 삼각형 $\text{ABC}$가 정삼각형이라고 했으므로, 이 정삼각형의 **한 변의 길이는 $a$**가 되는구나!
- 점 $\text{C}$의 $x$좌표는 점 $\text{A}$의 $x$좌표에 주기 $a$를 더한 것이므로 다음과 같아.
$$\text{C}(-x_0 + a, -y_0)$$
3단계: 정삼각형의 성질로 $x_0, y_0$를 $a$로 나타내기
정삼각형 $\text{ABC}$의 한 변의 길이가 $a$이므로, 이 삼각형의 높이 $h$는 다음과 같아.
$$h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$$
- **$y_0$ 구하기**:
점 $\text{B}(x_0, y_0)$에서 선분 $\text{AC}$($y = -y_0$)까지의 수직 거리가 바로 이 삼각형의 높이 $h$가 되지?
$$y_0 - (-y_0) = 2y_0 = \frac{\sqrt{3}}{2}a \implies y_0 = \frac{\sqrt{3}}{4}a$$
- **$x_0$ 구하기**:
정삼각형의 꼭짓점 $\text{B}$에서 대변 $\text{AC}$에 내린 수선의 발은 선분 $\text{AC}$의 중점이어야 해.
즉, 점 $\text{B}$의 $x$좌표인 $x_0$는 점 $\text{A}(-x_0)$와 점 $\text{C}(-x_0 + a)$의 $x$좌표의 한가운데(평균)에 위치해야 하지.
$$x_0 = \frac{-x_0 + (-x_0 + a)}{2} = \frac{a - 2x_0}{2} = \frac{a}{2} - x_0$$
이 식을 정리하면,
$$2x_0 = \frac{a}{2} \implies x_0 = \frac{a}{4}$$
4단계: 함수 식에 대입하여 $a$ 구하기
이제 점 $\text{B}(x_0, y_0) = \left(\frac{a}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}a\right)$가 함수 $y = f(x)$ 위의 점이라는 것을 이용하자.
$$f\left(\frac{a}{4}\right) = \tan\left(\frac{\pi \cdot \frac{a}{4}}{a}\right) = \tan \frac{\pi}{4} = 1$$
이 값이 $y_0$와 같아야 하므로,
$$\frac{\sqrt{3}}{4}a = 1 \implies a = \frac{4}{\sqrt{3}}$$
5단계: 삼각형 $\text{ABC}$의 넓이 구하기
한 변의 길이가 $a = \frac{4}{\sqrt{3}}$인 정삼각형의 넓이 $S$는 다음과 같이 구할 수 있어.
$$S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{16}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$
답
정답은 **③ $\frac{4\sqrt{3}}{3}$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 내용을 잘 이해했는지 스스로 점검해 볼까?
> 질문: 만약 탄젠트 함수가 $g(x) = \tan \frac{\pi x}{2a}$로 바뀌고 다른 조건이 모두 같다면, 정삼각형 $\text{ABC}$의 한 변의 길이는 $a$를 사용하여 어떻게 표현될까요? (힌트: 함수의 주기가 어떻게 변하는지 생각해 보세요!)