어떤 문제인가
이 문제는 주어진 복잡한 관계식을 만족하는 연속함수 $f(x)$가 어떤 형태인지 찾아내고, 특정 함숫값들의 합을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 인수분해: 복잡해 보이는 식을 인수분해하여 $f(x)$가 가질 수 있는 '후보 함수'들을 찾아냅니다.
- 함수의 연속성: 함수 $f(x)$의 그래프가 끊어지지 않고 이어져 있어야 함을 이용합니다.
- 최댓값과 최솟값 조건: $f(x)$의 최댓값이 $1$, 최솟값이 $0$이라는 조건을 통해 여러 후보 중 진짜 $f(x)$의 그래프 모양을 결정합니다.
단계별 풀이
1단계: 주어진 식을 인수분해하여 $f(x)$의 후보 구하기
모든 실수 $x$에 대해 성립하는 식을 먼저 살펴봅시다.
$$\{f(x)\}^3 - \{f(x)\}^2 - x^2 f(x) + x^2 = 0$$
이 식을 인수분해하기 위해 항을 두 개씩 묶어볼게요. 앞의 두 항은 $\{f(x)\}^2$으로 묶고, 뒤의 두 항은 $-x^2$으로 묶어봅시다.
$$\{f(x)\}^2 \{f(x) - 1\} - x^2 \{f(x) - 1\} = 0$$
공통인수인 $\{f(x) - 1\}$이 보이네요! 이것으로 묶어주면 다음과 같습니다.
$$\{f(x) - 1\} [\{f(x)\}^2 - x^2] = 0$$
괄호 안의 제곱의 차($A^2 - B^2$) 공식까지 적용해서 끝까지 인수분해를 해볼게요.
$$\{f(x) - 1\}\{f(x) - x\}\{f(x) + x\} = 0$$
이 식이 $0$이 되려면 세 인수 중 적어도 하나는 $0$이 되어야 합니다. 즉, 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)$는 다음 세 가지 식 중 하나의 값을 가져야 합니다.
- $f(x) = 1$
- $f(x) = x$
- $f(x) = -x$
2단계: 최댓값과 최솟값 조건을 만족하는 그래프 그리기
$f(x)$는 실수 전체에서 연속이므로, 위의 세 직선 $y=1$, $y=x$, $y=-x$의 일부분들을 끊어지지 않게 이어 붙여서 만든 그래프여야 합니다.
여기에 **최댓값은 $1$, 최솟값은 $0$**이라는 강력한 조건이 있습니다. 이 조건을 만족하도록 영역별로 $f(x)$를 결정해 봅시다.
- **$x > 1$ 일 때와 $x < -1$ 일 때:**
만약 이 영역에서 $f(x) = x$ 또는 $f(x) = -x$를 선택하면, 함숫값이 $1$보다 커지거나(최댓값 $1$ 조건 위배) $0$보다 작아집니다(최솟값 $0$ 조건 위배).
따라서 이 영역에서는 반드시 **$f(x) = 1$**이어야 합니다.
- **$-1 \le x \le 1$ 일 때:**
함수가 연속이어야 하므로, $x = -1$과 $x = 1$에서 함숫값은 $1$로 연결되어야 합니다. 즉, 점 $(-1, 1)$과 $(1, 1)$을 지나야 합니다.
또한, 함수의 **최솟값이 $0$**이 되어야 하므로 그래프가 반드시 $y$축의 $0$인 지점(즉, $x$축)과 만나야 합니다.
* $x = -1$에서 출발하여 최솟값 $0$을 찍으려면, $y = -x$를 타고 내려와서 원점 $(0, 0)$에 도달해야 합니다. (만약 계속 $y=1$을 유지하면 최솟값이 $0$이 될 수 없습니다.)
* 원점 $(0, 0)$에서 다시 $x = 1$일 때 $y = 1$로 올라가려면, $y = x$를 타고 올라가야 합니다.
따라서 조건을 만족하는 유일한 연속함수 $f(x)$는 다음과 같이 정의됩니다.
3단계: 구하고자 하는 값 계산하기
이제 우리가 구해야 하는 값들을 하나씩 대입해 봅시다.
- $f\left(-\frac{4}{3}\right)$ 구하기:
$-\frac{4}{3}$은 $-1$보다 작으므로, 첫 번째 범위에 해당합니다.
$$f\left(-\frac{4}{3}\right) = 1$$
- $f(0)$ 구하기:
$x=0$일 때는 두 번째나 세 번째 범위에 해당하며, 값은 $0$입니다.
$$f(0) = 0$$
- $f\left(\frac{1}{2}\right)$ 구하기:
$\frac{1}{2}$은 $0$과 $1$ 사이이므로, 세 번째 범위($f(x)=x$)에 해당합니다.
$$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$$
이 세 값을 모두 더하면 다음과 같습니다.
$$f\left(-\frac{4}{3}\right) + f(0) + f\left(\frac{1}{2}\right) = 1 + 0 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$
답
**③ $\frac{3}{2}$**
확인해보기
만약 문제에서 **"최솟값이 $0$이다"라는 조건이 없고**, "최댓값은 $1$이며, $f(x)$는 상수함수가 아니다"라는 조건만 있었다면, 우리가 구한 $f(x)$ 외에 또 어떤 형태의 연속함수 $f(x)$가 가능했을지 생각해보세요.