어떤 문제인가
이 문제는 로그함수의 그래프 위에 있는 두 점을 지나는 직선의 성질을 이용하여 미지수 사이의 관계를 파악하고, 이를 지수함수식에 대입하여 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **직선의 방정식과 $y$절편**: 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구하고, $x=0$을 대입하여 $y$절편을 구하는 방법
- 로그의 성질: 밑 변환 공식($\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$)과 로그의 성질($k \log_a b = \log_a b^k$)
- 지수법칙과 식의 변형: 주어진 조건 $f(1)$을 이용해 $f(2)$의 값을 이끌어내는 능력
단계별 풀이
1단계: 첫 번째 직선의 $y$절편($Y_1$) 구하기
먼저 두 점 $(a, \log_2 a)$와 $(b, \log_2 b)$를 지나는 직선의 방정식을 구해봅시다.
두 점을 지나는 직선의 기울기 $m_1$은 다음과 같습니다.
$$m_1 = \frac{\log_2 b - \log_2 a}{b - a}$$
이 기울기를 사용해 직선의 방정식을 세우면 다음과 같습니다.
$$y - \log_2 a = \frac{\log_2 b - \log_2 a}{b - a} (x - a)$$
우리가 필요한 것은 이 직선의 $y$절편입니다. $y$절편은 $x=0$일 때의 $y$값이므로, $x=0$을 대입하여 정리해 봅시다.
$$Y_1 = \log_2 a - a \cdot \frac{\log_2 b - \log_2 a}{b - a}$$
통분하여 분자를 정리하면 다음과 같습니다.
$$Y_1 = \frac{\log_2 a \cdot (b - a) - a(\log_2 b - \log_2 a)}{b - a}$$
$$Y_1 = \frac{b \log_2 a - a \log_2 a - a \log_2 b + a \log_2 a}{b - a}$$
$$Y_1 = \frac{b \log_2 a - a \log_2 b}{b - a}$$
2단계: 두 번째 직선의 $y$절편($Y_2$) 구하기
이번에는 두 점 $(a, \log_4 a)$와 $(b, \log_4 b)$를 지나는 직선의 $y$절편을 구해봅시다.
로그의 밑 변환 공식을 생각하면 $\log_4 x = \log_{2^2} x = \frac{1}{2} \log_2 x$로 쓸 수 있습니다.
즉, 두 점은 $(a, \frac{1}{2}\log_2 a)$, $(b, \frac{1}{2}\log_2 b)$가 됩니다.
이 두 점을 지나는 직선의 $y$절편 $Y_2$는 1단계에서 구한 식의 모든 로그 항에 $\frac{1}{2}$이 곱해진 형태와 같습니다.
$$Y_2 = \frac{b \left(\frac{1}{2}\log_2 a\right) - a \left(\frac{1}{2}\log_2 b\right)}{b - a}$$
$$Y_2 = \frac{1}{2} \left( \frac{b \log_2 a - a \log_2 b}{b - a} \right) = \frac{1}{2} Y_1$$
3단계: 두 $y$절편이 같다는 조건으로 $a$와 $b$의 관계식 구하기
문제에서 두 직선의 $y$절편이 같다고 했습니다. 즉, $Y_1 = Y_2$입니다.
2단계에서 구한 관계식 $Y_2 = \frac{1}{2} Y_1$을 대입해 봅시다.
$$Y_1 = \frac{1}{2} Y_1$$
이 식을 만족하려면 $Y_1 = 0$이어야만 합니다. (양변에서 $\frac{1}{2}Y_1$을 빼면 $\frac{1}{2}Y_1 = 0$이 되기 때문입니다.)
따라서 1단계에서 구한 $Y_1$의 분자가 $0$이 되어야 합니다. (분모 $b-a$는 $1 < a < b$이므로 $0$이 아닙니다.)
$$b \log_2 a - a \log_2 b = 0$$
$$b \log_2 a = a \log_2 b$$
로그의 성질을 이용해 앞의 계수를 진수의 지수로 올려줍니다.
$$\log_2 a^b = \log_2 b^a$$
따라서 다음의 아주 중요한 관계식을 얻을 수 있습니다!
$$a^b = b^a$$
4단계: $f(1) = 40$을 이용하여 $f(2)$ 구하기
주어진 함수는 $f(x) = a^{bx} + b^{ax}$입니다.
$f(1) = 40$이므로, $x=1$을 대입해 봅시다.
$$f(1) = a^b + b^a = 40$$
3단계에서 우리는 $a^b = b^a$라는 것을 알아냈습니다. 이를 대입하면,
$$a^b + a^b = 40 \implies 2a^b = 40 \implies a^b = 20$$
동시에 $b^a = 20$이 됩니다.
이제 우리가 구하고자 하는 $f(2)$의 값을 구해봅시다. $x=2$를 대입하면,
$$f(2) = a^{2b} + b^{2a}$$
지수법칙에 의해 $a^{2b} = (a^b)^2$이고, $b^{2a} = (b^a)^2$이므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$f(2) = (a^b)^2 + (b^a)^2$$
여기에 우리가 구한 $a^b = 20$, $b^a = 20$을 대입합니다.
$$f(2) = 20^2 + 20^2 = 400 + 400 = 800$$
답
② 800
확인해보기
3단계 풀이 과정에서 $Y_1 = \frac{1}{2} Y_1$이라는 식을 통해 $Y_1 = 0$이라는 결론을 내렸습니다.
만약 두 직선의 $y$절편이 같다는 조건 대신, **"첫 번째 직선의 $y$절편이 두 번째 직선의 $y$절편의 3배이다"**라는 조건이 주어졌다면, 이때 $Y_1$의 값은 얼마가 되어야 할까요? 그 이유를 수식으로 설명해 보세요.