어떤 문제인가
이 문제는 시각 $t$에 따른 점 $\text{P}$의 위치 함수 $x(t)$가 주어졌을 때, 속도 함수 $v(t)$의 성질을 이용해 보기의 명제들이 참인지 거짓인지 판별하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 꼭 넣어야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같아요:
- 위치와 속도의 관계: 위치 $x(t)$를 미분하면 속도 $v(t)$가 되고, 속도 $v(t)$를 적분하면 위치의 변화량이 됩니다.
- 이동 거리: 속도에 절댓값을 씌워 적분한 값 $\int_a^b |v(t)| dt$는 물체가 실제로 움직인 총 이동 거리를 뜻합니다.
- 사잇값 정리와 극대·극소: 연속함수가 양수 값과 음수 값을 모두 가지면, 그 사이에 반드시 $0$이 되는 지점이 존재합니다.
단계별 풀이
1단계: ㄱ 확인하기 — 위치의 변화량 구하기
먼저 보기 ㄱ을 볼게요. $\int_0^1 v(t) dt = 0$인지 묻고 있네요.
속도 $v(t)$는 위치 $x(t)$의 도함수($v(t) = x'(t)$)이므로, 미적분학의 기본 정리에 의해 다음이 성립합니다.
$$\int_0^1 v(t) dt = \int_0^1 x'(t) dt = [x(t)]_0^1 = x(1) - x(0)$$
이제 문제에서 주어진 위치 함수 $x(t) = t(t-1)(at+b)$에 $t=0$과 $t=1$을 대입해 봅시다.
- $x(0) = 0 \cdot (0-1) \cdot (a \cdot 0 + b) = 0$
- $x(1) = 1 \cdot (1-1) \cdot (a \cdot 1 + b) = 0$
따라서,
$$\int_0^1 v(t) dt = x(1) - x(0) = 0 - 0 = 0$$
이 되므로 보기 ㄱ은 참입니다.
*(물리적으로 해석하면, $t=0$일 때 출발해서 $t=1$일 때 제자리로 돌아왔으니 위치의 변화량은 $0$이라는 뜻이에요!)*
2단계: 조건 $\int_0^1 |v(t)| dt = 2$의 의미 파악하기
조건에서 $\int_0^1 |v(t)| dt = 2$라고 했습니다. 이것은 **$t=0$부터 $t=1$까지 점 $\text{P}$가 움직인 총 거리가 $2$**라는 뜻입니다.
점 $\text{P}$는 $0$에서 출발해서($x(0)=0$) 다시 $0$으로 돌아왔는데($x(1)=0$), 총 움직인 거리가 $2$입니다.
$x(t)$는 최고차항이 3차인 삼차함수이므로, 도함수인 속도 $v(t)$는 이차함수입니다. 즉, 운동 방향을 바꾸는 지점(속도가 $0$이 되는 지점)은 열린구간 $(0, 1)$에서 최대 2번 존재할 수 있습니다.
여기서 두 가지 경우로 나누어 생각할 수 있습니다.
경우 1) 운동 방향을 1번만 바꾸는 경우 (극값이 1개인 경우)
$t=c$ ($0 < c < 1$)에서 운동 방향을 한 번만 바꾼다고 해봅시다.
점 $\text{P}$는 $0$에서 출발해 $x(c)$까지 갔다가 다시 $0$으로 돌아옵니다.
이때 총 이동 거리는 왕복 거리이므로 $2|x(c)|$가 됩니다.
$$2|x(c)| = 2 \implies |x(c)| = 1$$
즉, 이 경우 $x(t)$의 최댓값(또는 최솟값)의 절댓값은 정확히 $1$이 됩니다. 모든 $t \in [0, 1]$에 대해 $|x(t)| \le 1$입니다.
경우 2) 운동 방향을 2번 바꾸는 경우 (극값이 2개인 경우)
$t=c_1, c_2$ ($0 < c_1 < c_2 < 1$)에서 운동 방향을 바꾼다고 해봅시다.
편의상 $a > 0$이라 가정하면, 점 $\text{P}$는 $0$에서 출발해 양수 방향으로 $x(c_1)$까지 갔다가, 음수 방향으로 $x(c_2)$까지 내려간 뒤, 다시 $0$으로 돌아옵니다. (이때 $x(c_1) > 0$, $x(c_2) < 0$입니다.)
이때 총 이동 거리는 다음과 같습니다.
$$\text{이동 거리} = x(c_1) + (x(c_1) - x(c_2)) + (0 - x(c_2)) = 2x(c_1) - 2x(c_2) = 2$$
양변을 2로 나누면,
$$x(c_1) - x(c_2) = 1$$
그런데 $x(c_2) < 0$이므로, 이를 절댓값으로 쓰면 $x(c_1) + |x(c_2)| = 1$이 됩니다.
두 양수를 더해서 $1$이 되었으므로, 각각의 값은 반드시 $1$보다 작아야 합니다.
$$x(c_1) < 1 \quad \text{and} \quad |x(c_2)| < 1$$
즉, 이 경우 모든 $t \in [0, 1]$에 대해 $|x(t)| < 1$이 성립합니다.
3단계: ㄴ 확인하기 — $|x(t_1)| > 1$인 지점이 존재할까?
2단계의 분석을 통해 우리는 다음을 알 수 있습니다.
- 운동 방향을 1번 바꾸면 $|x(t)|$의 최댓값은 **정확히 $1$**입니다.
- 운동 방향을 2번 바꾸면 $|x(t)|$의 최댓값은 **$1$보다 작습니다**.
어떤 경우에도 열린구간 $(0, 1)$에서 위치의 절댓값 $|x(t)|$가 $1$보다 커지는 지점은 존재할 수 없습니다.
따라서 보기 ㄴ은 거짓입니다.
4단계: ㄷ 확인하기 — 사잇값 정리 적용하기
보기 ㄷ에서는 "$0 \le t \le 1$인 모든 $t$에 대하여 $|x(t)| < 1$이면"이라는 조건을 주었습니다.
이 조건은 2단계에서 분석한 [경우 2] (운동 방향을 2번 바꾸는 경우)에 해당합니다.
이 경우, 극대점 $c_1$과 극소점 $c_2$가 열린구간 $(0, 1)$에 존재하며, 각각의 함숫값은 서로 다른 부호를 가집니다.
즉, $x(c_1) > 0$이고 $x(c_2) < 0$ (또는 그 반대)입니다.
함수 $x(t)$는 다항함수이므로 닫힌구간 $[c_1, c_2]$에서 연속입니다.
이때 $x(c_1)$과 $x(c_2)$의 부호가 서로 다르므로, 사잇값 정리에 의해 $c_1$과 $c_2$ 사이에 $x(t_2) = 0$을 만족하는 시각 $t_2$가 적어도 하나 존재해야 합니다.
$c_1$과 $c_2$가 모두 열린구간 $(0, 1)$에 속하므로, $t_2$ 역시 열린구간 $(0, 1)$에 존재하게 됩니다.
따라서 보기 ㄷ은 참입니다.
답
옳은 것은 ㄱ, ㄷ이므로 정답은 ③입니다.
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 볼 수 있는 질문이에요. 머릿속으로 상상하며 답을 고민해 보세요! (답은 직접 구해보는 거야!)
질문:
> 어떤 물체가 수직선 위를 움직이는데, 시각 $t=0$일 때 원점($0$)에서 출발하여 $t=2$일 때 다시 원점($0$)으로 돌아왔습니다. 이 물체가 $t=0$부터 $t=2$까지 움직인 총 이동 거리가 $6$이고, 이 시간 동안 물체는 운동 방향을 딱 한 번만 바꾸었다고 합니다. 그렇다면 이 물체가 도달했던 가장 먼 위치(원점으로부터의 거리)는 어디였을까요?