어떤 문제인가
이 문제는 두 원의 성질과 삼각함수의 도형에의 활용을 결합한 빈칸 추론 문제입니다. 복잡해 보이지만, 단계별로 제시된 가이드를 따라가면 충분히 해결할 수 있어요. 이 문제를 풀기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 코사인법칙: 삼각형의 세 변과 한 각 사이의 관계를 나타내는 공식입니다. ($a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$)
- 원주각과 중심각의 관계: 한 호에 대한 원주각의 크기는 중심각 크기의 반($\frac{1}{2}$)입니다.
- 삼각형의 합동과 이등변삼각형의 성질: 변의 길이와 각의 크기를 비교하여 닮음이나 합동을 찾아냅니다.
단계별 풀이
1. (가) 구하기: $\overline{\text{AO}_2}$를 $k$에 대한 식 $f(k)$로 나타내기
먼저 두 원 $C_1, C_2$의 반지름의 길이를 $R$이라 합시다. 즉, $\overline{\text{O}_1\text{O}_2} = \overline{\text{O}_1\text{A}} = R$입니다.
세 점 $\text{A}, \text{O}_1, \text{O}_2$가 한 직선 위에 있으므로, 선분 $\text{AO}_2$의 길이는 다음과 같습니다.
$$\overline{\text{AO}_2} = \overline{\text{AO}_1} + \overline{\text{O}_1\text{O}_2} = R + R = 2R$$
이제 $R$과 $k$의 관계를 찾아봅시다.
삼각형 $\text{AO}_1\text{B}$는 $\overline{\text{O}_1\text{A}} = \overline{\text{O}_1\text{B}} = R$인 이등변삼각형이고, 꼭지각이 $\theta_1$입니다. 코사인법칙을 적용하면:
$$\overline{\text{AB}}^2 = R^2 + R^2 - 2R^2\cos\theta_1 = 2R^2(1-\cos\theta_1)$$
반각 공식(또는 이등변삼각형의 수선)을 이용하면 $1-\cos\theta_1 = 2\sin^2\frac{\theta_1}{2}$이므로,
$$\overline{\text{AB}}^2 = 4R^2\sin^2\frac{\theta_1}{2}$$
$\overline{\text{AB}} = k$이므로 다음 식을 얻습니다.
$$k^2 = 4R^2\sin^2\frac{\theta_1}{2} \quad \cdots \text{ (식 ①)}$$
이번에는 삼각형 $\text{O}_1\text{O}_2\text{B}$에서 코사인법칙을 써봅시다.
$\overline{\text{O}_1\text{B}} = R$, $\overline{\text{O}_1\text{O}_2} = R$이고, 끼인각은 $\angle\text{O}_2\text{O}_1\text{B} = \theta_1 + \theta_2 = \pi - \theta_1$입니다. (문제에서 $2\theta_1 + \theta_2 = \pi$라고 주어졌기 때문입니다.)
$$\overline{\text{BO}_2}^2 = R^2 + R^2 - 2R^2\cos(\pi - \theta_1) = 2R^2(1+\cos\theta_1)$$
$1+\cos\theta_1 = 2\cos^2\frac{\theta_1}{2}$이므로,
$$\overline{\text{BO}_2}^2 = 4R^2\cos^2\frac{\theta_1}{2}$$
문제에서 $\overline{\text{BO}_2} = 2\sqrt{2}k$라고 했으므로,
$$(2\sqrt{2}k)^2 = 8k^2 = 4R^2\cos^2\frac{\theta_1}{2} \quad \cdots \text{ (식 ②)}$$
이제 식 ①과 식 ②를 더해봅시다. $\sin^2\frac{\theta_1}{2} + \cos^2\frac{\theta_1}{2} = 1$ 성질을 이용하기 위해서입니다.
$$k^2 + 8k^2 = 4R^2\left(\sin^2\frac{\theta_1}{2} + \cos^2\frac{\theta_1}{2}\right)$$
$$9k^2 = 4R^2$$
양변에 루트를 씌우면 (길이는 양수이므로) $3k = 2R$이 됩니다.
따라서 우리가 구하고자 하는 $\overline{\text{AO}_2} = 2R = 3k$입니다.
$$\text{(가)} = f(k) = 3k$$
2. (나) 구하기: $\cos\frac{\theta_1}{2}$의 값 $p$ 구하기
위에서 구한 식 ②를 다시 이용해봅시다.
$$8k^2 = 4R^2\cos^2\frac{\theta_1}{2}$$
여기에 $2R = 3k$ (즉, $4R^2 = 9k^2$)를 대입합니다.
$$8k^2 = 9k^2\cos^2\frac{\theta_1}{2}$$
양변을 $k^2$으로 나누면 ($k > 0$):
$$\cos^2\frac{\theta_1}{2} = \frac{8}{9}$$
$\theta_1$은 삼각형의 내각이므로 $0 < \theta_1 < \pi$이고, 따라서 $0 < \frac{\theta_1}{2} < \frac{\pi}{2}$가 되어 $\cos\frac{\theta_1}{2}$은 양수입니다.
$$\cos\frac{\theta_1}{2} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$
따라서 알맞은 상수 $p$는 다음과 같습니다.
$$\text{(나)} = p = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$
3. (다) 구하기: $\overline{\text{O}_2\text{C}}$를 $k$에 대한 식 $g(k)$로 나타내기
삼각형 $\text{O}_2\text{BC}$에서 코사인법칙을 적용해 봅시다.
- $\overline{\text{BC}} = k$ (삼각형 $\text{O}_1\text{BC}$와 삼각형 $\text{O}_1\text{AB}$는 두 변의 길이가 $R$로 같고 끼인각이 $\theta_1$으로 합동이므로 $\overline{\text{BC}} = \overline{\text{AB}} = k$입니다.)
- $\overline{\text{BO}_2} = 2\sqrt{2}k$
- $\angle\text{CO}_2\text{B} = \frac{\theta_1}{2}$ (호 $\text{BC}$에 대한 중심각 $\angle\text{CO}_1\text{B} = \theta_1$이므로, 원 $C_1$ 위의 점 $\text{O}_2$에서의 원주각은 중심각의 절반인 $\frac{\theta_1}{2}$이 됩니다.)
구하고자 하는 선분의 길이 $\overline{\text{O}_2\text{C}} = x$라 두고 코사인법칙을 쓰면:
$$\overline{\text{BC}}^2 = \overline{\text{BO}_2}^2 + \overline{\text{O}_2\text{C}}^2 - 2\overline{\text{BO}_2}\cdot\overline{\text{O}_2\text{C}}\cos\frac{\theta_1}{2}$$
$$k^2 = (2\sqrt{2}k)^2 + x^2 - 2(2\sqrt{2}k)(x)\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$$
$$k^2 = 8k^2 + x^2 - \frac{16}{3}kx$$
이 식을 정리하면 $x$에 대한 이차방정식이 됩니다.
$$x^2 - \frac{16}{3}kx + 7k^2 = 0$$
양변에 3을 곱해 정수 계수로 만들어 줍니다.
$$3x^2 - 16kx + 21k^2 = 0$$
인수분해를 하면:
$$(3x - 7k)(x - 3k) = 0$$
따라서 $x = \frac{7}{3}k$ 또는 $x = 3k$입니다.
여기서 점 $\text{C}$는 점 $\text{A}$와 다른 점이므로, $\overline{\text{O}_2\text{C}}$의 길이는 지름의 길이인 $\overline{\text{AO}_2} = 3k$보다 작아야 합니다. (원 위의 한 점에서 가장 먼 거리는 지름의 길이입니다.)
따라서 $x = \frac{7}{3}k$가 됩니다.
$$\text{(다)} = g(k) = \frac{7}{3}k$$
4. 최종 계산하기: $f(p) \times g(p)$의 값 구하기
우리가 구한 식과 값을 정리해 봅시다.
- $f(k) = 3k$
- $g(k) = \frac{7}{3}k$
- $p = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
따라서,
$$f(k) \times g(k) = 3k \times \frac{7}{3}k = 7k^2$$
여기에 $k = p = \frac{2\sqrt{2}}{3}$를 대입하면:
$$f(p) \times g(p) = 7p^2 = 7 \times \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2 = 7 \times \frac{8}{9} = \frac{56}{9}$$
답
정답은 ② $\frac{56}{9}$ 입니다.
확인해보기
풀이 과정의 3단계에서 **"호 $\text{BC}$에 대한 원주각 $\angle\text{CO}_2\text{B}$의 크기가 중심각 $\angle\text{CO}_1\text{B}$의 크기의 절반($\frac{\theta_1}{2}$)"**이 되는 성질을 사용했습니다. 이 성질이 성립하기 위해 점 $\text{O}_2$가 원 $C_1$ 위에 있어야 하는데, **점 $\text{O}_2$가 원 $C_1$ 위에 있는 이유**는 무엇일까요? (문제의 첫 문장에서 힌트를 찾아보세요!)