어떤 문제인가
이 문제는 로그의 성질을 이용하여 복잡해 보이는 로그 식을 간단히 정리하고 그 값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념 2가지는 다음과 같습니다.
- 로그의 밑 변환 공식: 밑과 진수의 자리를 바꾸면 역수가 됩니다. 즉, $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$ 입니다.
- 로그의 뺄셈 성질: 밑이 같은 두 로그의 뺄셈은 진수의 나눗셈으로 합칠 수 있습니다. 즉, $\log_a x - \log_a y = \log_a \left(\frac{x}{y}\right)$ 입니다.
단계별 풀이
1단계: 밑을 통일하기 (밑 변환 공식 사용)
로그를 계산할 때 가장 먼저 해야 할 일은 밑을 같게 만들어주는 것입니다.
문제의 식을 보면 첫 번째 항의 밑은 $2$인데, 두 번째 항은 분모에 밑이 $15$인 로그가 있습니다.
$$\log_2 120 - \frac{1}{\log_{15} 2}$$
여기서 두 번째 항인 $\frac{1}{\log_{15} 2}$에 밑 변환 공식을 적용해 봅시다. 밑 $15$와 진수 $2$의 자리를 바꾸면 역수가 되므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\frac{1}{\log_{15} 2} = \log_2 15$$
이제 원래 식에 대입하면, 두 로그의 밑이 모두 $2$로 통일됩니다.
$$\log_2 120 - \log_2 15$$
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2단계: 로그의 성질을 이용하여 식 합치기
밑이 $2$로 같아졌으므로, 로그의 뺄셈 성질을 사용할 수 있습니다. 로그끼리의 뺄셈은 진수끼리의 나눗셈으로 합칠 수 있습니다.
$$\log_2 120 - \log_2 15 = \log_2 \left(\frac{120}{15}\right)$$
이제 괄호 안의 분수 $\frac{120}{15}$를 약분하여 간단히 만들어 봅시다. $120$을 $15$로 나누면 $8$이 됩니다.
$$\log_2 \left(\frac{120}{15}\right) = \log_2 8$$
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3단계: 최종 값 계산하기
마지막으로 진수인 $8$을 밑인 $2$의 거듭제곱 형태로 나타내어 값을 구합니다. $8$은 $2^3$이므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\log_2 8 = \log_2 2^3$$
로그의 성질에 의해 진수의 지수 $3$은 로그 앞으로 내려올 수 있고, $\log_2 2 = 1$이므로 최종 답을 얻을 수 있습니다.
$$\log_2 2^3 = 3 \log_2 2 = 3 \times 1 = 3$$
답
$$3$$
확인해보기
오늘 배운 밑 변환 공식과 로그의 성질을 잘 이해했는지 다음 문제를 스스로 풀어보며 확인해 보세요!
> 질문: $\log_3 54 - \frac{1}{\log_2 3}$의 값은 무엇일까요?