어떤 문제인가
이 문제는 도함수(미분한 함수) $f'(x)$와 원래 함수의 한 점에서의 값 $f(0)$이 주어졌을 때, 원래 함수 $f(x)$를 복원하여 특정 값 $f(1)$을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 부정적분: 미분의 역연산으로, 도함수 $f'(x)$로부터 원래 함수 $f(x)$를 찾아내는 방법입니다.
- **적분상수 ($C$)**: 상수를 미분하면 $0$이 되기 때문에, 적분할 때 생기는 알 수 없는 상수항을 표현하기 위해 사용합니다.
- 함숫값의 대입: 구한 함수식에 특정 값을 대입하여 최종 답을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 도함수 $f'(x)$를 부정적분하여 원래 함수 $f(x)$의 형태 구하기
미분해서 $3x^2 + 2x$가 되는 원래 함수 $f(x)$를 찾기 위해 부정적분을 합니다.
$$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (3x^2 + 2x) \, dx$$
다항함수의 적분 공식 $\int x^n \, dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$를 적용해 봅시다.
- $3x^2$을 적분하면: $3 \times \frac{1}{3}x^3 = x^3$
- $2x$를 적분하면: $2 \times \frac{1}{2}x^2 = x^2$
여기에 적분상수 $C$를 붙여주면 원래 함수 $f(x)$의 일반적인 식을 얻을 수 있습니다.
$$f(x) = x^3 + x^2 + C \quad (\text{단, } C\text{는 적분상수})$$
2단계: 조건 $f(0) = 2$를 이용하여 적분상수 $C$ 구하기
우리가 구한 $f(x) = x^3 + x^2 + C$에서 아직 $C$가 무엇인지 모릅니다. 문제에서 준 힌트인 $f(0) = 2$를 대입해 봅시다. $x$ 자리에 $0$을 넣는 것입니다.
$$f(0) = 0^3 + 0^2 + C = 2$$
계산하면 바로 $C$의 값을 알 수 있습니다.
$$C = 2$$
따라서 완벽한 원래 함수 $f(x)$는 다음과 같습니다.
$$f(x) = x^3 + x^2 + 2$$
3단계: $f(1)$의 값 계산하기
이제 완성된 함수식 $f(x) = x^3 + x^2 + 2$에 $x = 1$을 대입하여 우리가 원하는 답을 구합니다.
$$f(1) = 1^3 + 1^2 + 2$$
$$f(1) = 1 + 1 + 2 = 4$$
답
$$4$$
확인해보기
위에서 설명한 과정을 잘 이해했는지 확인해 볼까요? 다음 질문에 스스로 답해 보세요.
> 질문: 만약 이 문제에서 다른 조건은 모두 같고 $f(0) = -1$로 주어졌다면, $f(1)$의 값은 얼마가 될까요? 직접 식을 세워 계산해 보세요!