어떤 문제인가
이 문제는 여러 개의 수열의 합이 주어졌을 때, 특정 항의 값($a_8$)을 구하는 문제입니다. 복잡해 보이는 시그마($\sum$) 기호를 정리하기 위해 아래의 핵심 개념들을 사용합니다.
- **시그마($\sum$)의 성질**: 시그마 기호 안의 상수배는 시그마 밖으로 꺼낼 수 있습니다.
- 예: $\sum c \cdot a_k = c \sum a_k$
- 수열의 합과 일반항의 관계: 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라고 할 때, 제$n$항은 다음과 같이 구할 수 있습니다.
- $a_n = S_n - S_{n-1}$ (단, $n \ge 2$)
- 이 문제에서는 특별히 $a_8 = S_8 - S_7$ 임을 이용할 것입니다.
단계별 풀이
1단계: 복잡한 시그마 식을 $S_n$을 사용하여 간단하게 나타내기
시그마 기호가 계속 나오면 계산이 복잡해 보일 수 있어요. 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$라고 약속하고, 주어진 식들을 정리해 봅시다.
첫 번째 조건식 정리:
$$\sum_{k=1}^{10} a_k - \sum_{k=1}^{7} \frac{a_k}{2} = 56$$
시그마 성질에 의해 $\sum \frac{a_k}{2}$는 $\frac{1}{2} \sum a_k$로 쓸 수 있습니다. 이를 $S_n$으로 나타내면 다음과 같습니다.
$$S_{10} - \frac{1}{2} S_7 = 56$$
분수를 없애기 위해 양변에 $2$를 곱해줍니다.
$$2S_{10} - S_7 = 112 \quad \text{--- (식 1)}$$
두 번째 조건식 정리:
$$\sum_{k=1}^{10} 2a_k - \sum_{k=1}^{8} a_k = 100$$
마찬가지로 $\sum 2a_k$는 $2 \sum a_k$로 쓸 수 있으므로, $S_n$으로 나타내면 다음과 같습니다.
$$2S_{10} - S_8 = 100 \quad \text{--- (식 2)}$$
2단계: 구하고자 하는 $a_8$과 $S_n$의 관계 이해하기
우리가 구해야 하는 값은 $a_8$입니다.
1항부터 8항까지의 합($S_8$)에서 1항부터 7항까지의 합($S_7$)을 빼면 딱 8번째 항인 $a_8$만 남게 됩니다.
$$a_8 = S_8 - S_7$$
따라서 우리는 (식 1)과 (식 2)를 연립하여 $S_8 - S_7$의 값을 만들어내면 됩니다.
3단계: 식을 연립하여 $a_8$ 구하기
(식 1)과 (식 2)에서 공통으로 들어있는 $2S_{10}$을 기준으로 식을 정리해 봅시다.
- (식 1)에서: $S_7 = 2S_{10} - 112$
- (식 2)에서: $S_8 = 2S_{10} - 100$
이제 $a_8 = S_8 - S_7$에 이 식들을 대입해 볼까요?
$$a_8 = (2S_{10} - 100) - (2S_{10} - 112)$$
괄호를 풀어서 계산해 봅시다.
$$a_8 = 2S_{10} - 100 - 2S_{10} + 112$$
놀랍게도 알지 못했던 $2S_{10}$이 서로 지워지면서 숫지만 남게 됩니다!
$$a_8 = -100 + 112 = 12$$
답
$$12$$
확인해보기
위 풀이 과정을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요.
질문:
만약 문제의 두 번째 조건식이 다음과 같이 바뀌었다면, $a_8$의 값은 얼마가 될까요?
$$\sum_{k=1}^{10} 2a_k - \sum_{k=1}^{8} a_k = 110$$
(첫 번째 조건식은 그대로 $56$입니다.)