어떤 문제인가
이 문제는 주어진 삼차함수가 모든 실수 범위에서 끊임없이 위로 올라가는 그래프(증가함수)가 되도록 하는 매개변수 $a$의 범위를 구하고, 그 중 가장 큰 값을 찾는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 꼭 넣어야 할 핵심 개념 2가지는 다음과 같습니다.
- 함수의 증가와 도함수의 부호: 함수 $f(x)$가 실수 전체에서 증가하려면, 모든 실수 $x$에 대해 미분한 함수(도함수)가 $f'(x) \ge 0$을 만족해야 합니다.
- 이차부등식이 항상 성립할 조건: 아래로 볼록한 이차함수 $Ax^2 + Bx + C \ge 0$이 항상 성립하려면, 이 그래프가 $x$축과 만나지 않거나 한 점에서만 만나야 하므로 판별식 $D \le 0$이어야 합니다.
단계별 풀이
1단계: 함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$ 구하기
함수가 증가하는지 감소하는지 확인하려면 먼저 접선의 기울기를 알려주는 '도함수'를 구해야 합니다. 주어진 함수 $f(x) = x^3 + ax^2 - (a^2 - 8a)x + 3$을 $x$에 대해 미분해 봅시다.
$$f'(x) = 3x^2 + 2ax - (a^2 - 8a)$$
2단계: 실수 전체에서 증가할 조건 세우기
함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 증가하려면, 모든 실수 $x$에 대해 접선의 기울기가 $0$ 이상이어야 합니다. 즉, 다음 부등식이 항상 성립해야 합니다.
$$3x^2 + 2ax - (a^2 - 8a) \ge 0$$
이 식은 아래로 볼록한(이차항의 계수가 $3 > 0$이므로) 이차함수의 그래프가 항상 $x$축보다 위에 있거나 접해야 함을 의미합니다.
3단계: 판별식을 이용하여 $a$의 범위 구하기
이차방정식 $3x^2 + 2ax - (a^2 - 8a) = 0$의 그래프가 $x$축과 만나지 않거나(근이 없음) 한 점에서 만나야(중근) 하므로, **판별식 $D \le 0$**이어야 합니다.
여기서 $x$의 계수가 $2a$로 짝수이므로, 짝수 판별식 $\frac{D}{4}$를 사용하면 계산이 훨씬 간단해집니다.
$$\frac{D}{4} = b'^2 - ac \le 0$$
공식에 대입해 볼까요? ($b' = a$, $a = 3$, $c = -(a^2 - 8a)$)
$$\frac{D}{4} = a^2 - 3 \cdot [-(a^2 - 8a)] \le 0$$
괄호를 풀고 식을 정리해 봅시다.
$$a^2 + 3(a^2 - 8a) \le 0$$
$$a^2 + 3a^2 - 24a \le 0$$
$$4a^2 - 24a \le 0$$
양변을 $4$로 나누면 다음과 같습니다.
$$a^2 - 6a \le 0$$
인수분해를 하면,
$$a(a - 6) \le 0$$
따라서 $a$의 범위는 다음과 같이 나옵니다.
$$0 \le a \le 6$$
4단계: $a$의 최댓값 결정하기
구한 $a$의 범위 $0 \le a \le 6$에서 실수 $a$의 최댓값은 가장 큰 수인 $6$이 됩니다.
답
$$6$$
확인해보기
공부를 잘 마쳤는지 스스로 점검해 봅시다!
> 질문: 만약 삼차함수 $g(x) = -x^3 + ax^2 - 3x + 1$이 실수 전체의 집합에서 감소하도록 하려면, 도함수 $g'(x)$의 조건과 판별식 $D$의 조건은 각각 어떻게 설정해야 할까요? (직접 식을 세워보고 판별식의 방향을 고민해 보세요!)