어떤 문제인가
이 문제는 주어진 삼차함수 $f(x)$를 미분하여 **도함수 $f'(x)$**를 구한 뒤, $x=1$에서의 미분계수인 $f'(1)$의 값을 계산하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 다항함수의 미분법: $x^n$을 미분하면 $n x^{n-1}$이 됩니다. (단, $n$은 양의 정수)
- 상수함수의 미분: 상수를 미분하면 $0$이 됩니다.
- 미분계수: 도함수 $f'(x)$를 구한 후, $x$ 자리에 원하는 값을 대입하여 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 함수 $f(x)$를 미분하여 도함수 $f'(x)$ 구하기
다항함수의 미분 공식을 이용하여 $f(x) = x^3 + 3x^2 + x - 1$의 각 항을 하나씩 미분해 봅시다.
- $x^3$을 미분하면:
$$(x^3)' = 3x^2$$
- $3x^2$을 미분하면 (상수 $3$은 그대로 두고 $x^2$만 미분해서 곱합니다):
$$(3x^2)' = 3 \times 2x = 6x$$
- $x$를 미분하면:
$$(x)' = 1$$
- 상수 $-1$을 미분하면:
$$(-1)' = 0$$
이 식들을 모두 더하면 도함수 $f'(x)$를 얻을 수 있습니다.
$$f'(x) = 3x^2 + 6x + 1$$
2단계: $x=1$ 대입하여 $f'(1)$ 계산하기
우리가 구한 도함수 $f'(x) = 3x^2 + 6x + 1$에 $x = 1$을 대입합니다.
$$f'(1) = 3(1)^2 + 6(1) + 1$$
$$f'(1) = 3 + 6 + 1$$
$$f'(1) = 10$$
따라서 구하고자 하는 값은 $10$입니다.
답
⑤ $10$
확인해보기
오늘 배운 미분 공식을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
질문: 함수 $g(x) = 2x^3 - 4x^2 + 5$가 있을 때, $g'(2)$의 값은 얼마일까요? 직접 미분하고 $x=2$를 대입해 보세요!