어떤 문제인가
이 문제는 주어진 조건들을 이용해 특정 구간에서의 함수 $f(x)$의 식을 구하고, 이를 이용해 정적분 값을 계산하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 미분가능성과 연속성: 함수가 어떤 점에서 미분가능하려면, 그 점에서 연속이어야 하고 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 합니다.
- 구간에 따른 함수의 정의: 주어진 관계식 $f(x+1) - xf(x) = ax + b$를 이용해, 이미 알고 있는 구간 $[0, 1]$의 함수 식으로부터 다음 구간 $[1, 2]$에서의 함수 식을 유도해냅니다.
단계별 풀이
1단계: 구간 $[1, 2]$에서의 함수 $f(x)$ 식 세우기
우리는 구간 $[0, 1]$에서 $f(x) = x$라는 것을 알고 있습니다. 이 정보를 조건 (나)의 식에 대입하여 구간 $[1, 2]$에서의 $f(x)$ 식을 유도해 봅시다.
조건 (나)의 식은 다음과 같습니다.
$$f(x+1) - xf(x) = ax + b \quad (x \ge 0)$$
이 식에 $f(x+1)$만 남기고 정리하면,
$$f(x+1) = xf(x) + ax + b$$
여기서 $x$의 범위를 $0 \le x \le 1$로 제한하면, 이 구간에서 $f(x) = x$이므로 위 식은 다음과 같이 바뀝니다.
$$f(x+1) = x(x) + ax + b = x^2 + ax + b \quad (0 \le x \le 1)$$
이제 $x+1$을 새로운 변수 $t$로 치환해 봅시다. $t = x+1$이라고 하면, $x = t-1$이 됩니다.
$x$의 범위가 $0 \le x \le 1$이므로, $t$의 범위는 $1 \le t \le 2$가 됩니다.
이를 식에 대입하면, 구간 $[1, 2]$에서의 함수 $f(t)$는 다음과 같습니다.
$$f(t) = (t-1)^2 + a(t-1) + b \quad (1 \le t \le 2)$$
변수를 다시 편하게 $x$로 바꾸어 쓰면, 구간 $[1, 2]$에서의 함수 $f(x)$는 다음과 같습니다.
$$f(x) = (x-1)^2 + a(x-1) + b \quad (1 \le x \le 2)$$
2단계: 미분가능성 조건을 이용하여 상수 $a, b$ 구하기
함수 $f(x)$는 실수 전체에서 미분가능하므로, 두 구간이 만나는 경계점인 $x=1$에서도 연속이어야 하고 미분가능해야 합니다. 이 성질을 이용해 상수 $a$와 $b$를 구해봅시다.
**① $x=1$에서 연속일 조건**
$x=1$에서 연속이려면 좌극한과 우극한이 같아야 합니다.
- 좌극한 (구간 $[0, 1]$의 식 $f(x)=x$ 이용):
$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1$$
- 우극한 (구간 $[1, 2]$의 식 이용):
$$\lim_{x \to 1^+} f(x) = (1-1)^2 + a(1-1) + b = b$$
두 값이 같아야 하므로,
$$b = 1$$ 임을 알 수 있습니다.
**② $x=1$에서 미분가능할 조건**
$x=1$에서 미분가능하려면 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 합니다. 각 구간의 함수를 미분해 봅시다.
- $x < 1$ 일 때, $f(x) = x$ 이므로 $f'(x) = 1$ 입니다. 따라서 좌미분계수는 다음과 같습니다.
$$f'_{-}(1) = 1$$
- $1 < x < 2$ 일 때, $f(x) = (x-1)^2 + a(x-1) + b$ 이므로 미분하면 다음과 같습니다.
$$f'(x) = 2(x-1) + a$$
따라서 우미분계수는 다음과 같습니다.
$$f'_{+}(1) = 2(1-1) + a = a$$
두 미분계수가 같아야 하므로,
$$a = 1$$ 임을 알 수 있습니다.
3단계: 구간 $[1, 2]$에서 $f(x)$ 식을 완성하고 정적분 계산하기
구한 상수 $a=1, b=1$을 구간 $[1, 2]$에서의 $f(x)$ 식에 대입합니다.
$$f(x) = (x-1)^2 + 1(x-1) + 1 \quad (1 \le x \le 2)$$
이 식을 전개하여 정리하면 다음과 같습니다.
$$f(x) = (x^2 - 2x + 1) + (x - 1) + 1 = x^2 - x + 1$$
이제 우리가 구하고자 하는 정적분 $\int_{1}^{2} f(x) dx$를 계산해 봅시다.
$$\int_{1}^{2} (x^2 - x + 1) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x \right]_{1}^{2}$$
위끝 $2$와 아래끝 $1$을 대입하여 계산합니다.
- $x=2$ 대입: $\frac{8}{3} - 2 + 2 = \frac{8}{3}$
- $x=1$ 대입: $\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{2 - 3 + 6}{6} = \frac{5}{6}$
따라서 정적분의 값은 다음과 같습니다.
$$\int_{1}^{2} f(x) dx = \frac{8}{3} - \frac{5}{6} = \frac{16}{6} - \frac{5}{6} = \frac{11}{6}$$
마지막으로 문제에서 요구한 값은 이 정적분 값에 $60$을 곱한 것이므로,
$$60 \times \int_{1}^{2} f(x) dx = 60 \times \frac{11}{6} = 110$$
답
$$110$$
확인해보기
우리가 구한 $f(x)$ 식을 바탕으로 다음 질문에 스스로 답해 보세요.
> 질문: 우리가 구한 구간 $[1, 2]$에서의 함수 식 $f(x) = x^2 - x + 1$을 이용하면 $f(2)$의 값을 구할 수 있습니다. 그렇다면, 이 $f(2)$의 값과 조건 (나)의 관계식을 활용하여 **구간 $[2, 3]$에서의 함수 식**을 구하려면 어떻게 시작해야 할까요? (직접 계산하지 말고, 풀이의 방향만 생각해보세요!)