어떤 문제인가
이 문제는 주어진 조건들을 만족하는 수열 $\{a_n\}$의 각 항의 값을 구하고, 특정 항들의 합을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 등비수열의 성질과 일반항: 이웃한 항 사이의 비율이 일정한 수열의 특징을 이해합니다.
- 절댓값의 의미: 수의 크기(원점으로부터의 거리)는 알지만, 부호(양수 또는 음수)는 결정되지 않았음을 이해합니다.
- 이진법적 사고 (2의 거듭제곱의 합): 자연수를 2의 거듭제곱들의 합으로 유일하게 나타낼 수 있는 성질을 이용해 각 항의 부호를 결정합니다.
단계별 풀이
1단계: 각 항의 절댓값 크기 구하기
조건 (가)와 (나)를 통해 각 항의 크기(절댓값)가 어떻게 변하는지 살펴봅시다.
- 조건 (가)에서 $|a_1| = 2 = 2^1$입니다.
- 조건 (나)에서 모든 자연수 $n$에 대하여 $|a_{n+1}| = 2|a_n|$이므로, 다음 항은 이전 항에 2를 곱한 크기를 가집니다.
이 규칙을 따라 절댓값들을 구해보면 다음과 같습니다.
$$|a_1| = 2^1$$
$$|a_2| = 2 \times |a_1| = 2^2$$
$$|a_3| = 2 \times |a_2| = 2^3$$
$$\vdots$$
$$|a_n| = 2^n$$
따라서 수열의 각 항 $a_n$은 $+2^n$ 또는 $-2^n$ 중 하나의 값을 가집니다.
2단계: 양수인 항과 음수인 항의 관계 세우기
이제 조건 (다)인 $\sum_{n=1}^{10} a_n = -14$를 이용해 어떤 항이 양수(+)이고 어떤 항이 음수(-)인지 찾아내야 합니다.
편의를 위해 다음과 같이 정의해 봅시다.
- $a_n$이 양수인 항들의 절대값 합을 $S_P$라고 합시다.
- $a_n$이 음수인 항들의 절대값 합을 $S_N$이라고 합시다.
그러면 모든 항의 실제 합은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$S_P - S_N = -14 \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
한편, 모든 항의 절댓값의 총합은 첫째항이 2, 공비가 2인 등비수열의 첫째항부터 제10항까지의 합과 같습니다.
$$S_P + S_N = \sum_{n=1}^{10} 2^n$$
등비수열의 합 공식을 사용해 이 값을 계산해 봅시다.
$$\sum_{n=1}^{10} 2^n = \frac{2(2^{10} - 1)}{2 - 1} = 2(1024 - 1) = 2046$$
따라서 다음 식을 얻습니다.
$$S_P + S_N = 2046 \quad \cdots \text{ (식 2)}$$
3단계: 음수인 항들의 합 $S_N$ 구하기
$\text{(식 1)}$과 $\text{(식 2)}$를 연립하여 $S_N$의 값을 구해봅시다.
$\text{(식 2)}$에서 $\text{(식 1)}$을 빼주면 다음과 같습니다.
$$(S_P + S_N) - (S_P - S_N) = 2046 - (-14)$$
$$2S_N = 2060$$
$$S_N = 1030$$
즉, 음수 부호를 가진 항들의 절댓값 합이 $1030$이 되어야 합니다.
4단계: 어떤 항이 음수인지 결정하기
$S_N$은 $2^1, 2^2, 2^3, \dots, 2^{10}$ 중에서 서로 다른 몇 개의 항을 더해서 만든 값입니다. $1030$을 2의 거듭제곱의 합으로 분해해 봅시다. 가장 큰 거듭제곱부터 차례대로 빼나가면 쉽게 찾을 수 있습니다.
- $1030$보다 작은 가장 큰 2의 거듭제곱은 $2^{10} = 1024$입니다.
$$1030 = 1024 + 6$$
- 남은 $6$보다 작은 가장 큰 2의 거듭제곱은 $2^2 = 4$입니다.
$$6 = 4 + 2$$
- 남은 값은 $2 = 2^1$입니다.
따라서 다음과 같이 유일하게 분해됩니다.
$$1030 = 1024 + 4 + 2 = 2^{10} + 2^2 + 2^1$$
이것은 $a_1, a_2, a_{10}$ 세 개의 항이 음수(-) 부호를 가진다는 것을 의미합니다.
- $a_1 = -2^1 = -2$
- $a_2 = -2^2 = -4$
- $a_{10} = -2^{10} = -1024$
- 나머지 항들($a_3$부터 $a_9$까지)은 모두 양수(+)입니다.
5단계: 구하고자 하는 값 계산하기
우리가 구해야 하는 값은 $a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9$입니다. 각 항의 값을 대입해 봅시다.
- $a_1 = -2$
- $a_3 = 2^3 = 8$
- $a_5 = 2^5 = 32$
- $a_7 = 2^7 = 128$
- $a_9 = 2^9 = 512$
이 값들을 모두 더합니다.
$$a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9 = -2 + 8 + 32 + 128 + 512$$
$$= 6 + 32 + 128 + 512$$
$$= 38 + 128 + 512$$
$$= 166 + 512$$
$$= 678$$
답
$$678$$
확인해보기
만약 조건 (다)에서 모든 항의 합이 $-14$가 아니라 **$-10$**이었다면, 수열 $\{a_n\}$의 항들 중에서 어떤 항들이 음수(-) 부호를 가져야 할까요? 위 풀이 과정을 참고하여 스스로 생각해보세요.