어떤 문제인가
이 문제는 삼차함수의 그래프의 성질과 도함수의 실근, 그리고 특정 구간에서 실근의 개수를 나타내는 새로운 함수 $g(t)$의 성질을 융합한 고난도 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 삼차함수의 도함수와 극값: 삼차함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x) = 0$은 이차방정식이며, 이 방정식의 실근은 $f(x)$가 극값을 갖는 지점입니다.
- **구간에서의 실근의 개수 함수 $g(t)$**: 닫힌구간 $[t, t+2]$의 길이는 항상 $2$입니다. 이 움직이는 구간 안에 $f'(x)=0$의 실근이 몇 개 들어오는지를 파악해야 합니다.
- 극한의 성질을 통한 조건 해석: 조건 (가)의 좌극한과 우극한의 합이 $2$ 이하라는 성질을 통해 $f'(x)=0$의 두 실근 사이의 거리를 결정할 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: $f'(x)=0$의 실근과 함수 $g(t)$의 의미 파악하기
최고차항의 계수가 $\frac{1}{2}$인 삼차함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$는 최고차항의 계수가 $\frac{3}{2}$인 이차함수입니다. 따라서 방정식 $f'(x)=0$은 서로 다른 두 실근을 갖거나, 중근을 갖거나, 실근을 갖지 않습니다.
만약 실근이 없거나 중근을 갖는다면, $g(t)$의 값은 항상 $1$ 이하가 되어 조건 (나)의 $g(f(1))=2$를 만족할 수 없습니다.
따라서 $f'(x)=0$은 서로 다른 두 실근을 가져야 합니다. 이 두 실근을 $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$)라고 합시다.
$g(t)$는 닫힌구간 $[t, t+2]$에 포함되는 실근의 개수이므로, 두 실근 $\alpha, \beta$가 구간에 들어오는 조건은 다음과 같습니다:
- $\alpha$가 구간에 포함될 조건: $t \le \alpha \le t+2 \iff \alpha-2 \le t \le \alpha$
- $\beta$가 구간에 포함될 조건: $t \le \beta \le t+2 \iff \beta-2 \le t \le \beta$
2단계: 조건 (가)를 통해 두 근 사이의 거리 구하기
두 근 사이의 거리 $d = \beta - \alpha$의 크기에 따라 $g(t)$의 거동이 달라집니다. 세 가지 경우를 나누어 생각해 봅시다.
- **경우 1: $d < 2$인 경우 ($\beta - \alpha < 2$)**
이 경우 두 근의 간격이 구간의 길이 $2$보다 좁으므로, $t$가 두 근을 모두 포함하는 구간이 존재합니다.
이때 $t$가 $\alpha$에 가까워질 때의 극한을 보면:
$$\lim_{t \to \alpha-} g(t) = 2, \quad \lim_{t \to \alpha+} g(t) = 1$$
이 되어 두 극한의 합이 $3$이 됩니다. 이는 조건 (가)인 '합이 $2$ 이하'에 위배됩니다.
- **경우 2: $d > 2$인 경우 ($\beta - \alpha > 2$)**
이 경우 두 근의 간격이 너무 넓어서 어떤 구간 $[t, t+2]$도 두 근을 동시에 포함할 수 없습니다. 즉, $g(t)$의 최댓값은 $1$이 됩니다.
하지만 이는 조건 (나)의 $g(f(1))=2$라는 조건에 모순됩니다.
- **경우 3: $d = 2$인 경우 ($\beta - \alpha = 2$)**
즉, 두 근이 $\alpha$와 $\alpha+2$인 경우입니다.
이때 $g(t)$의 값을 구해보면 다음과 같습니다:
* $t < \alpha-2$ 일 때, $g(t) = 0$
* $\alpha-2 \le t < \alpha$ 일 때, $g(t) = 1$ (근 $\alpha$만 포함)
* $t = \alpha$ 일 때, $g(t) = 2$ (근 $\alpha$와 $\alpha+2$ 둘 다 포함)
* $\alpha < t \le \alpha+2$ 일 때, $g(t) = 1$ (근 $\alpha+2$만 포함)
* $t > \alpha+2$ 일 때, $g(t) = 0$
이 경우 임의의 실수 $a$에 대해 좌우극한의 합을 구해보면 항상 $2$ 이하가 되어 조건 (가)를 완벽히 만족합니다!
또한, **$g(t) = 2$를 만족하는 실수 $t$는 오직 $t = \alpha$ 하나뿐**이라는 아주 중요한 사실을 알 수 있습니다.
3단계: 조건 (나)를 이용하여 $f(x)$ 식 세우기
조건 (나)에서 $g(f(1)) = g(f(4)) = 2$라고 했습니다.
2단계의 결론에 의해 $g(t)=2$가 되려면 $t=\alpha$여야 하므로, 다음을 얻습니다:
$$f(1) = \alpha, \quad f(4) = \alpha$$
삼차함수 $f(x)$의 최고차항의 계수가 $\frac{1}{2}$이므로, $f(x) - \alpha = 0$의 근이 $1$과 $4$임을 이용하여 식을 다음과 같이 세울 수 있습니다 (나머지 한 근을 $k$라 둡시다):
$$f(x) - \alpha = \frac{1}{2}(x-1)(x-4)(x-k)$$
$$f(x) = \frac{1}{2}(x-1)(x-4)(x-k) + \alpha$$
4단계: $k$의 값 결정하고 조건 검증하기
$f'(x)=0$의 두 실근이 $\alpha$와 $\alpha+2$이므로, 두 근의 차가 $2$라는 성질을 이용해 $k$를 구합시다.
$f(x)$를 미분하기 편리하게 전개해봅니다:
$$f(x) = \frac{1}{2}\{x^2 - 5x + 4\}(x-k) + \alpha = \frac{1}{2}\{x^3 - (k+5)x^2 + (5k+4)x - 4k\} + \alpha$$
양변을 $x$에 대해 미분하면:
$$f'(x) = \frac{1}{2}\{3x^2 - 2(k+5)x + (5k+4)\}$$
이차방정식 $f'(x)=0$, 즉 $3x^2 - 2(k+5)x + (5k+4) = 0$의 두 근을 $x_1, x_2$라 할 때, 두 근의 차가 $2$이므로 $(x_2 - x_1)^2 = 4$가 성립해야 합니다.
근과 계수의 관계에 의해:
$$x_1 + x_2 = \frac{2(k+5)}{3}, \quad x_1 x_2 = \frac{5k+4}{3}$$
곱셈공식의 변형을 이용하면:
$$(x_2 - x_1)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2$$
$$4 = \frac{4(k+5)^2}{9} - \frac{4(5k+4)}{3}$$
양변을 $4$로 나누고 $9$를 곱하여 정리하면:
$$9 = (k+5)^2 - 3(5k+4)$$
$$9 = k^2 + 10k + 25 - 15k - 12$$
$$k^2 - 5k + 4 = 0$$
$$(k-1)(k-4) = 0$$
따라서 $k=1$ 또는 $k=4$입니다. 두 경우를 나누어 조건 (나)의 마지막 조건인 $g(f(0))=1$을 만족하는지 확인해봅시다.
- **경우 A: $k=1$일 때**
$$f(x) = \frac{1}{2}(x-1)^2(x-4) + \alpha$$
이때 $f'(x) = \frac{3}{2}(x-1)(x-3)$이므로, 두 실근은 $1$과 $3$입니다. 즉, $\alpha = 1$입니다.
그러면 $f(x) = \frac{1}{2}(x-1)^2(x-4) + 1$이 됩니다.
이제 $f(0)$을 구해보면:
$$f(0) = \frac{1}{2}(-1)^2(-4) + 1 = -1$$
$g(f(0)) = g(-1)$인데, 구간 $[-1, 1]$에 들어있는 $f'(x)=0$의 실근 $\{1, 3\}$의 개수는 $1$개(실근 $1$)이므로 $g(-1) = 1$이 되어 조건을 만족합니다!
- **경우 B: $k=4$일 때**
$$f(x) = \frac{1}{2}(x-1)(x-4)^2 + \alpha$$
이때 $f'(x) = \frac{3}{2}(x-2)(x-4)$이므로, 두 실근은 $2$과 $4$입니다. 즉, $\alpha = 2$입니다.
그러면 $f(x) = \frac{1}{2}(x-1)(x-4)^2 + 2$가 됩니다.
이제 $f(0)$을 구해보면:
$$f(0) = \frac{1}{2}(-1)(-4)^2 + 2 = -6$$
$g(f(0)) = g(-6)$인데, 구간 $[-6, -4]$에 들어있는 $f'(x)=0$의 실근 $\{2, 4\}$의 개수는 $0$개이므로 $g(-6) = 0$이 되어 조건($g(f(0))=1$)에 모순됩니다.
따라서 우리가 찾는 함수는 **$f(x) = \frac{1}{2}(x-1)^2(x-4) + 1$** 입니다.
5단계: $f(5)$ 계산하기
구한 식에 $x=5$를 대입합니다.
$$f(5) = \frac{1}{2}(5-1)^2(5-4) + 1$$
$$f(5) = \frac{1}{2}(16)(1) + 1 = 8 + 1 = 9$$
답
$$9$$
확인해보기
질문: 만약 어떤 삼차함수 $f(x)$에 대하여 $f'(x)=0$의 두 실근이 각각 $\alpha = 2$, $\beta = 5$라고 합니다. 이때 닫힌구간 $[t, t+2]$에서 실근의 개수를 나타내는 함수 $g(t)$에 대하여, $g(t) = 1$을 만족하도록 하는 실수 $t$의 범위(구간)들을 모두 구해보세요. (답은 스스로 생각해보세요!)