어떤 문제인가
이 문제는 등차수열의 성질을 이해하고, 주어진 조건을 이용해 수열의 특정 항을 구하는 문제입니다. 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 등차수열의 일반항: 첫째항이 $a_1$이고 공차가 $d$인 등차수열 $\{a_n\}$의 일반항은 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 입니다.
- 연립방정식의 활용: 주어진 두 식을 첫째항 $a_1$과 공차 $d$에 대한 식으로 나타낸 후, 연립하여 두 값을 구합니다.
- 등차중항 (선택 개념): 등차수열에서 가운데 항은 양옆 항의 평균과 같습니다. 즉, $a_4 + a_6 = 2a_5$ 임을 이용하면 더 빠르게 풀 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 주어진 조건을 첫째항 $a_1$과 공차 $d$로 나타내기
등차수열의 일반항 공식 $a_n = a_1 + (n-1)d$를 사용하여 문제에서 주어진 조건들을 식으로 써봅시다.
먼저, $a_2 = 6$ 이므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$a_1 + d = 6 \quad \text{--- (1)}$$
다음으로, $a_4 + a_6 = 36$ 이므로 각각을 $a_1$과 $d$로 나타내어 더해줍니다.
$$a_4 = a_1 + 3d$$
$$a_6 = a_1 + 5d$$
두 식을 더하면,
$$a_4 + a_6 = (a_1 + 3d) + (a_1 + 5d) = 2a_1 + 8d = 36$$
이 식의 양변을 $2$로 나누어 간단히 정리해 봅시다.
$$a_1 + 4d = 18 \quad \text{--- (2)}$$
> 풀이 팁 (등차중항 활용하기):
> $a_4$와 $a_6$의 한가운데 있는 항은 $a_5$입니다. 따라서 $a_4 + a_6 = 2a_5 = 36$이 되므로, $a_5 = 18$임을 바로 알 수 있습니다. $a_5 = a_1 + 4d = 18$이므로 식 (2)를 훨씬 빠르게 얻을 수 있죠!
2단계: 연립방정식을 풀어 $a_1$과 $d$ 구하기
이제 식 (1)과 식 (2)를 연립하여 첫째항 $a_1$과 공차 $d$를 구해봅시다.
- 식 (1): $a_1 + d = 6$
- 식 (2): $a_1 + 4d = 18$
식 (2)에서 식 (1)을 빼주면 $a_1$이 사라집니다.
$$(a_1 + 4d) - (a_1 + d) = 18 - 6$$
$$3d = 12$$
$$d = 4$$
공차 $d = 4$를 식 (1)에 대입하여 첫째항 $a_1$을 구합니다.
$$a_1 + 4 = 6$$
$$a_1 = 2$$
3단계: 구하고자 하는 $a_{10}$의 값 계산하기
우리가 구한 첫째항 $a_1 = 2$와 공차 $d = 4$를 일반항 공식에 대입하여 $a_{10}$을 구합니다.
$$a_{10} = a_1 + 9d$$
$$a_{10} = 2 + 9 \times 4$$
$$a_{10} = 2 + 36 = 38$$
따라서 구하고자 하는 값은 $38$입니다.
답
⑤ $38$
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> 질문: 등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 $a_3 + a_7 = 20$일 때, 이 수열의 5번째 항인 $a_5$의 값은 얼마일까요? (등차중항의 성질을 떠올려 보세요!)