어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수의 그래프를 보고, 특정 지점에서의 좌극한과 극한값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **좌극한 ($\lim_{x \to a-} f(x)$)**: $x$가 $a$보다 작은 쪽(왼쪽)에서 $a$에 한없이 가까워질 때, 함숫값 $f(x)$가 가까워지는 값입니다.
- **우극한 ($\lim_{x \to a+} f(x)$)**: $x$가 $a$보다 큰 쪽(오른쪽)에서 $a$에 한없이 가까워질 때, 함숫값 $f(x)$가 가까워지는 값입니다.
- 극한값의 존재 조건: 좌극한과 우극한이 서로 같을 때만 극한값 $\lim_{x \to a} f(x)$가 존재하며, 그 공통된 값이 바로 극한값이 됩니다.
- 함숫값과 극한값의 차이: 극한값은 그 지점에 '도착했는지(색칠된 동그라미)'가 아니라, '어디를 향해 가고 있는지(목표지점)'를 묻는 것입니다.
단계별 풀이
1단계: 첫 번째 항 $\lim_{x \to -1-} f(x)$ 구하기
이 식은 **$x$가 $-1$의 왼쪽(음의 방향)에서 $-1$을 향해 가까워질 때**의 극한값을 묻고 있습니다. 즉, 좌극한을 구하는 것입니다.
- 그래프에서 $x < -1$ 영역을 보세요. 이 영역의 그래프는 $(-1, 3)$이라는 빈 동그라미를 향해 내려오고 있습니다.
- $x$가 왼쪽에서 $-1$에 가까워질 때, $y$값(높이)은 $3$에 한없이 가까워집니다.
- 비록 $x = -1$일 때의 실제 함숫값은 점 $(-1, 2)$에 찍혀 있지만, 극한값은 '목표지점'을 보는 것이므로 상관없습니다.
따라서,
$$\lim_{x \to -1-} f(x) = 3$$
입니다.
2단계: 두 번째 항 $\lim_{x \to 2} f(x)$ 구하기
이 식은 $x \to 2$ 뒤에 $+$나 $-$ 기호가 없습니다. 이것은 좌극한과 우극한이 같아서 하나의 극한값으로 존재하는지 확인하고 그 값을 쓰라는 뜻입니다.
- **좌극한 구하기 ($\lim_{x \to 2-} f(x)$)**:
$x$가 $2$보다 작은 쪽($1 \le x < 2$)에서 $2$에 가까워질 때의 그래프를 봅니다. 이 그래프는 가로선이며, 끝점인 $(2, 1)$을 향해 가고 있습니다. 따라서 좌극한은 $1$입니다.
- **우극한 구하기 ($\lim_{x \to 2+} f(x)$)**:
$x$가 $2$보다 큰 쪽($x > 2$)에서 $2$에 가까워질 때의 그래프를 봅니다. 이 그래프 역시 가로선이며, 시작점인 $(2, 1)$에서 출발합니다. 따라서 우극한도 $1$입니다.
좌극한과 우극한이 모두 $1$로 같으므로, $x=2$에서의 극한값이 존재하며 그 값은 $1$입니다. (이때 실제 함숫값 $f(2) = 2$와는 다릅니다!)
따라서,
$$\lim_{x \to 2} f(x) = 1$$
입니다.
3단계: 최종 값 계산하기
우리가 구하고자 하는 식에 위에서 구한 두 값을 대입합니다.
$$\lim_{x \to -1-} f(x) + \lim_{x \to 2} f(x) = 3 + 1 = 4$$
답
**④ $4$**
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
> 질문: 위 그래프에서 $x \to -1$일 때의 우극한 값인 $\lim_{x \to -1+} f(x)$의 값과, $x = -1$에서의 실제 함숫값인 $f(-1)$의 값은 각각 무엇일까요? 그리고 이 두 값은 서로 같을까요?