어떤 문제인가
이 문제는 주어진 규칙에 따라 수열의 항들을 차례대로 구하고, 그 합을 구하는 문제입니다. 이 문제를 풀기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 수열의 귀납적 정의: 이전 항($a_n$)의 값에 따라 다음 항($a_{n+1}$)을 결정하는 규칙을 이해하는 것입니다.
- 주기성 (반복되는 패턴): 수열을 직접 대입하여 구하다 보면 일정한 규칙으로 숫자가 반복되는 '주기'를 발견할 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 첫째항부터 차례대로 다음 항 구하기 (1번째 ~ 4번째 항)
수열의 첫째항이 $a_1 = 1$로 주어졌습니다. 조건에 맞춰 다음 항들을 하나씩 구해봅시다. 조건은 $a_n$이 7보다 작은지, 7 이상인지에 따라 달라집니다.
- **$a_1 = 1$** 입니다.
* $a_1 < 7$ 이므로 위의 규칙($2a_n$)을 적용합니다.
* $a_2 = 2 \times a_1 = 2 \times 1 = 2$
- **$a_2 = 2$** 입니다.
* $a_2 < 7$ 이므로 위의 규칙($2a_n$)을 적용합니다.
* $a_3 = 2 \times a_2 = 2 \times 2 = 4$
- **$a_3 = 4$** 입니다.
* $a_3 < 7$ 이므로 위의 규칙($2a_n$)을 적용합니다.
* $a_4 = 2 \times a_3 = 2 \times 4 = 8$
2단계: 5번째 항부터 구하며 규칙(주기) 발견하기
이제 $a_4 = 8$이 되었습니다. 이 값은 7보다 크거나 같으므로 아래 규칙을 적용해야 합니다.
- **$a_4 = 8$** 입니다.
* $a_4 \ge 7$ 이므로 아래 규칙($a_n - 7$)을 적용합니다.
* $a_5 = a_4 - 7 = 8 - 7 = 1$
어라? $a_5$의 값이 첫째항인 $a_1 = 1$과 같아졌네요!
이 수열은 이전 항의 값에 의해서만 다음 항이 결정되므로, $a_5 = 1$이 나온 순간부터는 앞서 구했던 과정이 그대로 반복됩니다.
즉, 수열 $\{a_n\}$은 다음과 같이 **$1, 2, 4, 8$**이 반복되는 수열입니다.
- $a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 4, a_4 = 8$
- $a_5 = 1, a_6 = 2, a_7 = 4, a_8 = 8$
3단계: 8번째 항까지의 합 구하기
우리가 구하고자 하는 값은 $\sum_{k=1}^{8} a_k$입니다. 이는 첫째항부터 8번째 항까지의 합을 의미합니다.
이 수열은 4개의 항($1, 2, 4, 8$)이 한 묶음으로 반복되므로, 8번째 항까지의 합은 이 묶음이 정확히 2번 반복된 합과 같습니다.
$$\sum_{k=1}^{8} a_k = (a_1 + a_2 + a_3 + a_4) + (a_5 + a_6 + a_7 + a_8)$$
$$(1 + 2 + 4 + 8) + (1 + 2 + 4 + 8)$$
$$= 15 + 15 = 30$$
따라서 구하고자 하는 값은 $30$입니다.
답
**① $30$**
확인해보기
이 수열의 규칙을 완벽히 이해했는지 확인해봅시다.
> 질문: 만약 이 수열에서 10번째 항까지의 합인 $\sum_{k=1}^{10} a_k$의 값을 구하라고 한다면, 그 값은 얼마가 될까요? 스스로 계산해 보세요.