어떤 문제인가
이 문제는 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 갖기 위한 조건이 무엇인지 묻고 있습니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 두 가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 방정식의 실근과 함수의 그래프: 방정식 $f(x) = g(x)$의 실근은 두 함수 $y = f(x)$와 $y = g(x)$의 그래프가 만나는 교점의 $x$좌표와 같습니다.
- 도함수를 이용한 그래프 그리기: 삼차함수의 도함수(미분)를 이용해 극댓값과 극솟값을 구하고, 그래프의 개형을 정확히 그려낼 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 미지수 $k$를 분리하여 두 함수로 나누기
방정식 $2x^3 - 3x^2 - 12x + k = 0$을 그대로 다루는 것보다, 상수 $k$를 우변으로 넘겨서 생각하는 것이 훨씬 쉽습니다. 왜냐하면 $y = k$라는 가로선(상수함수)을 위아래로 움직이며 교점의 개수를 관찰할 수 있기 때문이죠.
방정식을 정리해 봅시다.
$$2x^3 - 3x^2 - 12x = -k$$
이제 이 방정식을 다음 두 함수의 교점을 찾는 문제로 바꾸어 생각합니다.
- $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x$
- $y = -k$ (가로선)
이 두 그래프가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 $k$의 범위를 구하면 됩니다.
2단계: 함수 $f(x)$ 미분하여 극값 구하기
함수 $f(x)$의 그래프가 어떻게 생겼는지 알아보기 위해 미분을 해봅시다.
$$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12$$
도함수가 $0$이 되는 점(접선의 기울기가 $0$인 점)을 찾기 위해 인수분해를 합니다.
$$f'(x) = 6(x^2 - x - 2) = 6(x-2)(x+1) = 0$$
따라서 $x = -1$과 $x = 2$에서 극값을 가집니다.
3단계: 극댓값과 극솟값 계산하기
이제 두 지점에서의 함숫값을 구해봅시다.
- **$x = -1$ 일 때 (극댓값)**:
$$f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) = -2 - 3 + 12 = 7$$
즉, 극대점은 $(-1, 7)$입니다.
- **$x = 2$ 일 때 (극솟값)**:
$$f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) = 16 - 12 - 24 = -20$$
즉, 극소점은 $(2, -20)$입니다.
4단계: 서로 다른 세 실근을 갖기 위한 조건 구하기
삼차함수 $y = f(x)$의 그래프는 $x = -1$에서 최고점 $7$을 찍고 내려와서, $x = 2$에서 최저점 $-20$을 찍고 다시 올라가는 모양입니다.
이 그래프와 가로선 $y = -k$가 서로 다른 세 점에서 만나려면, 가로선이 극솟값과 극댓값 사이에 위치해야 합니다.
따라서 다음과 같은 식을 세울 수 있습니다.
$$-20 < -k < 7$$
이 부등식의 양변에 $-1$을 곱해주면 부등호 방향이 바뀌므로,
$$-7 < k < 20$$
이 됩니다.
5단계: 정수 $k$의 개수 구하기
$-7 < k < 20$을 만족하는 정수 $k$는 $-6, -5, \dots, 18, 19$입니다.
이 개수를 구하는 공식은 다음과 같습니다.
$$\text{개수} = (\text{가장 큰 정수}) - (\text{가장 작은 정수}) + 1$$
$$\text{개수} = 19 - (-6) + 1 = 26$$
따라서 만족하는 정수 $k$의 개수는 $26$개입니다.
답
③ 26
확인해보기
위 풀이를 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> 질문: 만약 원래 방정식 $2x^3 - 3x^2 - 12x + k = 0$이 오직 하나의 실근만을 갖도록 하는 양의 정수 $k$의 최솟값은 얼마일까요? (힌트: 가로선 $y = -k$가 극대보다 위에 있거나 극소보다 아래에 있어야 합니다.)