어떤 문제인가
이 문제는 주어진 삼각방정식을 풀어 $\tan\theta$의 값을 구한 뒤, $\theta$가 몇 사분면의 각인지 확인하여 $\sin\theta$와 $\cos\theta$의 값을 찾아내는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 치환을 이용한 이차방정식 풀이: $\tan\theta$를 하나의 문자(예: $t$)로 치환하여 방정식을 풉니다.
- 사분면에 따른 삼각비의 부호: 각 $\theta$의 위치에 따라 $\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta$의 양수/음수 부호가 결정됩니다. (올-싸-탄-코 규칙)
- 삼각비 사이의 관계: $\tan\theta$ 값을 알 때, 직각삼각형을 그려 $\sin\theta$와 $\cos\theta$의 크기를 쉽게 구할 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: $\tan\theta$에 대한 방정식 풀기
먼저 주어진 식 $\tan\theta - \frac{6}{\tan\theta} = 1$에서 계산을 편하게 하기 위해 $\tan\theta = t$로 치환해 봅시다.
$$t - \frac{6}{t} = 1$$
양변에 $t$를 곱하여 분모를 없애줍니다. (이때 $t \neq 0$입니다.)
$$t^2 - 6 = t$$
우변의 $t$를 좌변으로 이항하면 익숙한 이차방정식이 됩니다.
$$t^2 - t - 6 = 0$$
이 식을 인수분해하면 다음과 같습니다.
$$(t-3)(t+2) = 0$$
따라서 $t = 3$ 또는 $t = -2$, 즉 **$\tan\theta = 3$ 또는 $\tan\theta = -2$**라는 두 가지 후보를 얻게 됩니다.
2단계: 사분면을 확인하여 $\tan\theta$ 값 결정하기
문제에서 $\theta$의 범위가 다음과 같이 주어졌습니다.
$$\pi < \theta < \frac{3}{2}\pi$$
이 범위는 좌표평면에서 제3사분면에 해당합니다.
제3사분면에서는 **$\tan$만 양수(+)**이고, $\sin$과 $\cos$은 모두 음수(-)입니다. (올-싸-탄-코!)
따라서 $\tan\theta > 0$이어야 하므로, 우리가 구한 두 후보 중 **$\tan\theta = 3$**만 올바른 값입니다.
3단계: $\sin\theta$와 $\cos\theta$의 값 구하기
$\tan\theta = 3$임을 이용해서 $\sin\theta$와 $\cos\theta$의 값을 구해봅시다.
부호를 잠시 제외하고 크기만 생각하기 위해, 밑변의 길이가 $1$, 높이가 $3$인 직각삼각형을 그려봅니다. (그러면 $\tan\theta = \frac{\text{높이}}{\text{밑변}} = 3$이 성립하니까요!)
피타고라스 정리에 의해 이 직각삼각형의 빗변의 길이는 다음과 같습니다.
$$\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$$
이 삼각형을 통해 삼각비의 크기(절댓값)를 구하면 다음과 같습니다.
- $\sin$의 크기: $\frac{3}{\sqrt{10}}$
- $\cos$의 크기: $\frac{1}{\sqrt{10}}$
이제 앞서 확인한 제3사분면의 부호(둘 다 음수)를 적용해 줍니다.
$$\sin\theta = -\frac{3}{\sqrt{10}}, \quad \cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{10}}$$
4단계: 최종 값 계산하기
우리가 구하고자 하는 값은 $\sin\theta + \cos\theta$입니다. 두 값을 더해봅시다.
$$\sin\theta + \cos\theta = -\frac{3}{\sqrt{10}} + \left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right) = -\frac{4}{\sqrt{10}}$$
분모를 유리화하기 위해 분모와 분자에 $\sqrt{10}$을 곱해줍니다.
$$-\frac{4\sqrt{10}}{10} = -\frac{2\sqrt{10}}{5}$$
답
**① $-\frac{2\sqrt{10}}{5}$**
확인해보기
만약 문제에서 $\theta$의 범위가 제4사분면인 $\frac{3}{2}\pi < \theta < 2\pi$로 주어지고, $\tan\theta = -2$라는 결과를 얻었다면, 이때 $\sin\theta$와 $\cos\theta$의 부호는 각각 어떻게 될지 스스로 생각해보세요!