어떤 문제인가
이 문제는 이차함수(곡선)와 일차함수(직선)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하고, 그 넓이를 반으로 나누는 세로선 $x=k$의 위치를 찾는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 두 그래프의 교점 구하기: 넓이를 구할 구간의 시작과 끝을 알기 위해 두 함수의 교점을 찾습니다.
- 정적분을 이용한 넓이 구하기: 두 곡선 사이의 넓이는 $\int (위의 식 - 아래 식) dx$로 구합니다.
- 이차함수의 대칭성: 이 문제의 핵심 열쇠입니다! 복잡한 계산을 아주 간단하게 줄여줍니다.
단계별 풀이
1단계: 두 그래프가 만나는 점(교점) 구하기
먼저, 둘러싸인 부분의 경계가 어디서부터 어디까지인지 알아야 합니다. 두 식을 같다고 놓고 교점의 $x$좌표를 구합니다.
$$x^2 - 5x = x$$
우변의 $x$를 좌변으로 이항하면,
$$x^2 - 6x = 0$$
$$x(x - 6) = 0$$
따라서 두 그래프는 $x = 0$과 $x = 6$에서 만납니다. 즉, 우리가 넓이를 구해야 하는 구간은 $[0, 6]$입니다.
2단계: 둘러싸인 도형의 '높이' 함수 이해하기
구간 $[0, 6]$에서 직선 $y=x$가 곡선 $y=x^2-5x$보다 위에 있습니다.
따라서 두 그래프 사이의 세로 길이(높이)를 나타내는 함수를 $f(x)$라고 하면 다음과 같습니다.
$$f(x) = (\text{위의 식}) - (\text{아래 식})$$
$$f(x) = x - (x^2 - 5x) = -x^2 + 6x$$
이 $f(x)$를 $x=0$부터 $x=6$까지 정적분한 값이 바로 전체 넓이가 됩니다.
3단계: 이차함수의 대칭성 활용하기 (치트키!)
정적분 계산을 직접 하기 전에, 우리가 구한 높이 함수 $f(x) = -x^2 + 6x$를 가만히 살펴봅시다.
이 함수는 위로 볼록한 이차함수입니다. 이 식을 완전제곱식으로 바꾸어 축의 방정식을 찾아볼까요?
$$f(x) = -(x^2 - 6x) = -(x-3)^2 + 9$$
이 이차함수의 그래프는 **$x=3$을 대칭축**으로 가집니다.
구간의 시작인 $0$과 끝인 $6$은 대칭축인 $3$으로부터 각각 $3$만큼 똑같이 떨어져 있습니다.
즉, $x=3$을 기준으로 왼쪽 영역($0$부터 $3$까지)과 오른쪽 영역($3$부터 $6$까지)의 모양과 넓이가 완전히 똑같습니다!
따라서 전체 넓이를 이등분하는 세로선 $x=k$는 바로 이 대칭축인 **$x=3$**이 되어야 합니다.
4단계: 정적분으로 계산 검증하기 (확인 사살)
대칭성을 이용한 생각이 맞는지 정적분으로 직접 계산해 봅시다.
**전체 넓이 ($S$):**
$$S = \int_{0}^{6} (-x^2 + 6x) dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + 3x^2 \right]_{0}^{6}$$
$$S = \left( -\frac{1}{3} \cdot 216 + 3 \cdot 36 \right) - 0 = -72 + 108 = 36$$
**$x=0$부터 $x=k$까지의 넓이가 전체의 절반($18$)이 되는 $k$ 구하기:**
$$\int_{0}^{k} (-x^2 + 6x) dx = 18$$
$$\left[ -\frac{1}{3}x^3 + 3x^2 \right]_{0}^{k} = 18$$
$$-\frac{1}{3}k^3 + 3k^2 = 18$$
양변에 $-3$을 곱해 정리하면,
$$k^3 - 9k^2 + 54 = 0$$
여기에 $k=3$을 대입해 보면,
$$3^3 - 9(3^2) + 54 = 27 - 81 + 54 = 0$$
식 성립이 확인되었습니다! 따라서 $k=3$이 맞습니다.
답
**① $3$**
확인해보기
위 풀이에서 배운 대칭성을 잘 이해했는지 확인해 봅시다.
> 질문:
> 어떤 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 식(위의 식 - 아래 식)이 $g(x) = -x^2 + 8x$ 이고, 둘러싸인 구간이 $[0, 8]$입니다. 이 도형의 넓이를 이등분하는 직선 $x=k$에서 상수 $k$의 값은 얼마일까요? (정적분 계산을 하지 말고 대칭성을 생각해서 답해 보세요!)