어떤 문제인가
이 문제는 두 지수함수의 그래프와 기울기가 $2$인 직선이 만나는 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ 사이의 거리가 주어졌을 때, 직선의 $y$절편인 상수 $k$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 직선의 기울기와 두 점 사이의 거리: 기울기가 $m$인 직선 위의 두 점의 $x$좌표 차이가 $d$라면, $y$좌표 차이는 $md$가 되고, 두 점 사이의 거리는 피타고라스 정리를 이용해 구할 수 있습니다.
- 지수법칙과 지수방정식: 복잡해 보이는 지수식에서 공통부분을 묶어내어 간단한 방정식으로 해결하는 능력입니다.
단계별 풀이
1단계: 기울기와 선분의 길이를 이용해 두 교점의 좌표 관계 구하기
직선 $y = 2x + k$의 기울기는 $2$입니다.
점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표를 $x_1$, 점 $\mathrm{Q}$의 $x$좌표를 $x_2$라고 해봅시다. (그림에서 $\mathrm{Q}$가 $\mathrm{P}$보다 오른쪽에 있으므로 $x_2 > x_1$입니다.)
두 점은 모두 기울기가 $2$인 직선 위에 있으므로, $x$가 증가할 때 $y$는 그 $2$배만큼 증가합니다. 즉, 두 점의 $x$좌표의 차이를 $d = x_2 - x_1$ ($d > 0$)라고 하면, $y$좌표의 차이는 다음과 같습니다.
$$y_2 - y_1 = 2(x_2 - x_1) = 2d$$
이제 피타고라스 정리를 이용해 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ 사이의 거리 $\overline{\mathrm{PQ}}$를 $d$로 나타내 봅시다.
$$\overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{d^2 + (2d)^2} = \sqrt{5d^2} = d\sqrt{5}$$
문제에서 $\overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{5}$라고 주어졌으므로,
$$d\sqrt{5} = \sqrt{5} \implies d = 1$$
따라서 두 점의 좌표 관계는 다음과 같습니다.
$$x_2 = x_1 + 1$$
$$y_2 = y_1 + 2$$
2단계: 지수함수 식에 대입하여 $x_1$ 구하기
점 $\mathrm{P}$는 아래쪽 곡선 $y = \left(\frac{2}{3}\right)^{x+3} + 1$ 위의 점이므로,
$$y_1 = \left(\frac{2}{3}\right)^{x_1+3} + 1 \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
점 $\mathrm{Q}$는 위쪽 곡선 $y = \left(\frac{2}{3}\right)^{x+1} + \frac{8}{3}$ 위의 점이므로,
$$y_2 = \left(\frac{2}{3}\right)^{x_2+1} + \frac{8}{3}$$
여기에 1단계에서 구한 $x_2 = x_1 + 1$을 대입하면,
$$y_2 = \left(\frac{2}{3}\right)^{x_1+2} + \frac{8}{3} \quad \cdots \text{ (식 2)}$$
이제 $y_2 - y_1 = 2$라는 사실을 이용하기 위해, (식 2)에서 (식 1)을 빼줍니다.
$$\left[\left(\frac{2}{3}\right)^{x_1+2} + \frac{8}{3}\right] - \left[\left(\frac{2}{3}\right)^{x_1+3} + 1\right] = 2$$
상수항을 정리하고 지수 부분을 묶어봅시다.
$$\left(\frac{2}{3}\right)^{x_1+2} - \left(\frac{2}{3}\right)^{x_1+3} + \frac{5}{3} = 2$$
$$\left(\frac{2}{3}\right)^{x_1+2} - \left(\frac{2}{3}\right)^{x_1+3} = \frac{1}{3}$$
좌변을 공통인수인 $\left(\frac{2}{3}\right)^{x_1+2}$로 묶어줍니다.
$$\left(\frac{2}{3}\right)^{x_1+2} \left(1 - \frac{2}{3}\right) = \frac{1}{3}$$
$$\left(\frac{2}{3}\right)^{x_1+2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$$
양변에 $3$을 곱하면,
$$\left(\frac{2}{3}\right)^{x_1+2} = 1$$
어떤 수의 $0$제곱이 $1$이 되므로, 지수가 $0$이어야 합니다.
$$x_1 + 2 = 0 \implies x_1 = -2$$
3단계: 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 구하고 $k$ 값 찾기
$x_1 = -2$를 (식 1)에 대입하여 $y_1$을 구합니다.
$$y_1 = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2+3} + 1 = \left(\frac{2}{3}\right)^1 + 1 = \frac{5}{3}$$
따라서 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\left(-2, \frac{5}{3}\right)$입니다.
이 점 $\mathrm{P}$는 직선 $y = 2x + k$ 위의 점이기도 하므로, 대입하여 $k$를 구합니다.
$$\frac{5}{3} = 2(-2) + k$$
$$\frac{5}{3} = -4 + k$$
$$k = 4 + \frac{5}{3} = \frac{17}{3}$$
답
④ $\frac{17}{3}$
확인해보기
이번 문제에서는 직선의 기울기가 $2$이고 두 점 사이의 거리가 $\sqrt{5}$일 때, 두 점의 $x$좌표 차이가 $1$이 됨을 이용했습니다.
질문: 만약 어떤 직선의 기울기가 $3$이고, 이 직선 위에 있는 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ 사이의 거리가 $\sqrt{10}$이라면, 두 점의 $x$좌표의 차이($|x_2 - x_1|$)는 얼마가 될까요? 스스로 계산해 보세요!