어떤 문제인가
이 문제는 3차원 좌표공간에서 점을 특정 평면에 대해 대칭이동했을 때의 좌표를 구하고, 두 점 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 좌표평면에 대한 대칭이동: 어떤 평면을 기준으로 대칭이동할 때, 어떤 좌표의 부호가 바뀌는지 이해하기
- 좌표공간에서 두 점 사이의 거리 공식: 두 점 $(x_1, y_1, z_1)$과 $(x_2, y_2, z_2)$ 사이의 거리를 구하는 공식 활용하기
단계별 풀이
1단계: 점 $\mathrm{P}$의 좌표 구하기 ($xy$평면에 대한 대칭이동)
어떤 점을 $xy$평면에 대하여 대칭이동하면, $x$좌표와 $y$좌표는 그대로 유지되지만, $z$좌표는 평면을 기준으로 반대편으로 넘어가므로 **$z$좌표의 부호만 반대로** 바뀝니다.
점 $\mathrm{A}(2, 1, 3)$을 $xy$평면에 대하여 대칭이동한 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 다음과 같습니다.
$$\mathrm{P}(2, 1, -3)$$
2단계: 점 $\mathrm{Q}$의 좌표 구하기 ($yz$평면에 대한 대칭이동)
마찬가지로 어떤 점을 $yz$평면에 대하여 대칭이동하면, $y$좌표와 $z$좌표는 그대로 유지되고 **$x$좌표의 부호만 반대로** 바뀝니다.
점 $\mathrm{A}(2, 1, 3)$을 $yz$평면에 대하여 대칭이동한 점 $\mathrm{Q}$의 좌표는 다음과 같습니다.
$$\mathrm{Q}(-2, 1, 3)$$
3단계: 선분 $\mathrm{PQ}$의 길이 구하기
이제 두 점 $\mathrm{P}(2, 1, -3)$과 $\mathrm{Q}(-2, 1, 3)$ 사이의 거리를 구합니다. 좌표공간에서 두 점 사이의 거리 공식을 사용해 봅시다.
$$\mathrm{PQ} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$
이 공식에 두 점의 좌표를 대입하면 다음과 같습니다.
$$\mathrm{PQ} = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (1 - 1)^2 + (3 - (-3))^2}$$
$$\mathrm{PQ} = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 6^2}$$
$$\mathrm{PQ} = \sqrt{16 + 0 + 36}$$
$$\mathrm{PQ} = \sqrt{52}$$
$\sqrt{52}$를 소인수분해하여 간단히 정리하면 다음과 같습니다.
$$\mathrm{PQ} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13}$$
답
② $2\sqrt{13}$
확인해보기
점 $\mathrm{A}(2, 1, 3)$을 **$zx$평면**에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{R}$이라고 할 때, 점 $\mathrm{R}$의 좌표는 무엇이며 선분 $\mathrm{AR}$의 길이는 얼마일까요? (스스로 생각해보며 대칭이동의 원리를 다져보세요!)