어떤 문제인가
이 문제는 주어진 쌍곡선의 방정식을 보고, 초점의 정보를 이용해서 쌍곡선의 주축의 길이를 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 쌍곡선의 방정식과 초점의 관계: 쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$에서 두 초점의 좌표가 $(c, 0)$, $(-c, 0)$일 때, $c^2 = a^2 + b^2$이 성립합니다.
- 주축의 길이: 쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$의 주축은 두 꼭짓점 $(a, 0)$과 $(-a, 0)$을 잇는 선분이며, 그 길이는 $2a$입니다.
단계별 풀이
1단계: 주어진 식에서 필요한 값 찾아내기
주어진 쌍곡선의 방정식은 다음과 같습니다.
$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{6} = 1$$
이 식을 기본형 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$과 비교해 보면, 다음을 알 수 있습니다.
$$b^2 = 6$$
또한, 문제에서 한 초점의 좌표가 $(3\sqrt{2}, 0)$이라고 주어졌습니다. 초점의 좌표를 $(c, 0)$이라고 하면,
$$c = 3\sqrt{2}$$
이므로, 양변을 제곱하면 다음과 같습니다.
$$c^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18$$
2단계: 쌍곡선의 성질을 이용하여 $a^2$과 $a$ 구하기
쌍곡선에서 초점 $c$, 그리고 $a, b$ 사이에는 $c^2 = a^2 + b^2$이라는 아주 중요한 관계가 성립합니다. 이 식에 우리가 구한 값들을 대입해 봅시다.
$$18 = a^2 + 6$$
양변에서 $6$을 빼면,
$$a^2 = 12$$
문제에서 $a$는 양수라고 했으므로, $a$의 값은 다음과 같습니다.
$$a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$
3단계: 주축의 길이 구하기
쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$의 주축의 길이는 $2a$입니다.
우리가 구한 $a = 2\sqrt{3}$을 대입하여 주축의 길이를 계산해 봅시다.
$$\text{주축의 길이} = 2a = 2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$$
따라서 구하고자 하는 주축의 길이는 $4\sqrt{3}$입니다.
답
**③ $4\sqrt{3}$**
확인해보기
공부한 내용을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
> 질문: 만약 쌍곡선의 방정식이 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{5} = 1$ 이고, 한 초점의 좌표가 $(3, 0)$ 일 때, 이 쌍곡선의 주축의 길이는 얼마가 될까요? (단, $a > 0$)
위에서 배운 단계대로 천천히 계산해 보세요!