어떤 문제인가
이 문제는 좌표평면 위에서 정의된 두 직선이 서로 교차할 때 생기는 사잇각 중 **예각(0도보다 크고 90도보다 작은 각)의 크기 $\theta$에 대한 코사인 값**을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 직선의 방향벡터: 직선이 어떤 방향으로 뻗어나가는지 나타내는 벡터입니다. 직선의 방정식 $\frac{x-x_1}{u_1} = \frac{y-y_1}{u_2}$에서 방향벡터는 $\vec{u} = (u_1, u_2)$가 됩니다.
- 벡터의 내적과 사잇각: 두 벡터 $\vec{u}$와 $\vec{v}$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 할 때, 내적의 정의에 의해 $\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$ 성립합니다.
- 예각의 조건: 두 직선이 이루는 예각을 구할 때는 코사인 값이 항상 양수가 되어야 하므로, 분자에 절댓값을 씌워 $\cos\theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}$로 계산합니다.
단계별 풀이
1단계: 두 직선의 방향벡터 구하기
직선의 방정식 모양을 보고, 각 직선이 나아가는 방향을 가리키는 '방향벡터'를 찾아봅시다.
- 첫 번째 직선: $$\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{1}$$
분모를 살펴보면 $x$ 밑에는 $2$, $y$ 밑에는 $1$(생략됨)이 있습니다. 따라서 이 직선의 방향벡터를 $\vec{u}$라고 하면 다음과 같습니다.
$$\vec{u} = (2, 1)$$
- 두 번째 직선: $$\frac{x-2}{1} = \frac{y-5}{3}$$
마찬가지로 분모를 살펴보면 $x$ 밑에는 $1$(생략됨), $y$ 밑에는 $3$이 있습니다. 이 직선의 방향벡터를 $\vec{v}$라고 하면 다음과 같습니다.
$$\vec{v} = (1, 3)$$
2단계: 두 방향벡터의 크기와 내적 계산하기
공식에 대입하기 위해 두 벡터의 크기(길이)와 내적을 각각 구합니다.
- **벡터 $\vec{u}$의 크기**:
$$|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$$
- **벡터 $\vec{v}$의 크기**:
$$|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$$
- **두 벡터의 내적 ($\vec{u} \cdot \vec{v}$)**:
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = (2 \times 1) + (1 \times 3) = 2 + 3 = 5$$
3단계: 코사인 공식에 대입하여 $\cos\theta$ 구하기
두 직선이 이루는 예각의 크기가 $\theta$이므로, 공식에 위에서 구한 값들을 대입합니다.
$$\cos\theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}$$
$$\cos\theta = \frac{5}{\sqrt{5} \times \sqrt{10}}$$
분모를 정리해 볼까요? $\sqrt{5} \times \sqrt{10} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ 입니다.
$$\cos\theta = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
분모를 유리화하면 다음과 같습니다.
$$\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
답
**⑤ $\frac{\sqrt{2}}{2}$**
확인해보기
공식을 잘 이해했는지 스스로 확인해봅시다!
> 질문: 두 직선의 방향벡터가 각각 $\vec{a} = (1, 2)$ 이고 $\vec{b} = (3, -1)$ 일 때, 두 직선이 이루는 예각의 크기를 $\theta$라고 한다면 $\cos\theta$의 값은 얼마일까요? (직접 공식을 써서 계산해 보세요!)