어떤 문제인가
이 문제는 타원의 성질과 도형의 넓이, 그리고 점과 직선 사이의 거리 공식을 결합한 기하 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 것입니다.
- 타원의 정의와 성질: 타원 위의 점에서 두 초점까지의 거리의 합은 장축의 길이($2a$)와 같습니다.
- 사각형의 넓이 분할: 복잡한 사각형의 넓이를 $x$축을 기준으로 두 개의 삼각형으로 나누어 생각합니다.
- 점과 직선 사이의 거리: 원의 중심에서 접선까지의 거리는 원의 반지름($r$)과 같다는 성질을 이용합니다.
풀이 1) 좌표와 점·직선 사이의 거리 이용하기
1. 타원의 기본 정보 구하기
먼저 주어진 타원의 방정식으로부터 초점의 좌표와 장축의 길이를 구해봅시다.
주어진 타원의 방정식은 다음과 같습니다.
$$\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{16} = 1$$
이 타원에서 $a^2 = 64$, $b^2 = 16$이므로 $a = 8$, $b = 4$입니다.
- 장축의 길이: $2a = 16$이므로, 타원의 정의에 의해 타원 위의 점 $\mathrm{A}$에 대해 다음이 성립합니다.
$$\mathrm{AF} + \mathrm{AF}' = 16$$
- 초점의 좌표: 초점의 $x$좌표를 $c$라 하면, $c^2 = a^2 - b^2 = 64 - 16 = 48$입니다.
따라서 $c = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$이므로 두 초점은 다음과 같습니다.
$$\mathrm{F}(4\sqrt{3}, 0), \quad \mathrm{F}'(-4\sqrt{3}, 0)$$
두 초점 사이의 거리는 $\mathrm{FF}' = 2c = 8\sqrt{3}$입니다.
2. 사각형 $\mathrm{AFBF}'$의 넓이 분석하기
점 $\mathrm{A}$의 좌표를 $(x_0, y_0)$라 하고, 원 $C$의 중심 $\mathrm{B}$의 좌표를 $(0, y_B)$라 합시다.
문제에서 점 $\mathrm{A}$는 제1사분면에 있으므로 $y_0 > 0$이고, 중심 $\mathrm{B}$의 $y$좌표는 음수이므로 $y_B < 0$입니다.
두 초점 $\mathrm{F}$와 $\mathrm{F}'$은 $x$축 위에 있습니다. 따라서 $x$축(선분 $\mathrm{FF}'$)을 기준으로 사각형 $\mathrm{AFBF}'$를 위아래 두 삼각형으로 나눌 수 있습니다.
$$\text{사각형 } \mathrm{AFBF}' \text{의 넓이} = \triangle\mathrm{AFF}' + \triangle\mathrm{BFF}'$$
각 삼각형의 넓이를 밑변을 $\mathrm{FF}'$로 하여 구해봅시다.
- $\triangle\mathrm{AFF}'$의 높이는 점 $\mathrm{A}$의 $y$좌표인 $y_0$입니다.
$$\triangle\mathrm{AFF}' = \frac{1}{2} \times \mathrm{FF}' \times y_0 = \frac{1}{2} \times 8\sqrt{3} \times y_0 = 4\sqrt{3}y_0$$
- $\triangle\mathrm{BFF}'$의 높이는 점 $\mathrm{B}$의 $y$좌표의 절댓값인 $-y_B$입니다.
$$\triangle\mathrm{BFF}' = \frac{1}{2} \times \mathrm{FF}' \times (-y_B) = \frac{1}{2} \times 8\sqrt{3} \times (-y_B) = -4\sqrt{3}y_B$$
두 넓이의 합이 $72$이므로,
$$4\sqrt{3}y_0 - 4\sqrt{3}y_B = 72$$
$$4\sqrt{3}(y_0 - y_B) = 72$$
$$y_0 - y_B = \frac{72}{4\sqrt{3}} = 6\sqrt{3} \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
3. 원의 반지름과 점과 직선 사이의 거리 관계 이용하기
원 $C$의 반지름을 $r$이라 합시다. 중심 $\mathrm{B}(0, y_B)$에서 두 직선 $\mathrm{AF}$, $\mathrm{AF}'$에 이르는 거리는 모두 반지름 $r$과 같습니다.
두 직선 $\mathrm{AF}$와 $\mathrm{AF}'$의 방정식을 세워봅시다.
- 직선 $\mathrm{AF}$: 두 점 $(4\sqrt{3}, 0)$과 $(x_0, y_0)$를 지나므로,
$$y_0 x - (x_0 - 4\sqrt{3})y - 4\sqrt{3}y_0 = 0$$
- 직선 $\mathrm{AF}'$: 두 점 $(-4\sqrt{3}, 0)$과 $(x_0, y_0)$를 지나므로,
$$y_0 x - (x_0 + 4\sqrt{3})y + 4\sqrt{3}y_0 = 0$$
이제 중심 $\mathrm{B}(0, y_B)$에서 두 직선까지의 거리 $r$을 공식으로 나타냅니다. 이때 분모에 들어가는 값은 각각 선분 $\mathrm{AF}$와 $\mathrm{AF}'$의 길이와 같습니다.
- $\mathrm{AF}$까지의 거리:
$$r = \frac{|-(x_0 - 4\sqrt{3})y_B - 4\sqrt{3}y_0|}{\mathrm{AF}}$$
절댓값의 부호를 확인해 봅시다. $c=4\sqrt3$, $x=x_0$, $y=y_0$, $b=y_B$라 쓰면 타원의 식에서
$$\mathrm{AF}=8-\frac{cx}{8},\qquad \mathrm{AF}'=8+\frac{cx}{8}$$
을 얻습니다. 두 번째 거리식의 분자는 $-(x+c)b+cy>0$입니다. 만약 첫 번째 거리식의 분자 $(c-x)b-cy$도 $0$ 이상이면, 두 거리가 같다는 식을 정리하여
$$b\left(16c-\frac{cx^2}{4}\right)=16cy$$
를 얻습니다. 그런데 $0<x<8$, $y>0$, $b<0$이므로 왼쪽은 음수, 오른쪽은 양수가 되어 모순입니다. 따라서 첫 번째 분자는 음수이며, 부호를 바꾸어 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$r \cdot \mathrm{AF} = (x_0 - 4\sqrt{3})y_B + 4\sqrt{3}y_0 \quad \cdots \text{ (식 2)}$$
- $\mathrm{AF}'$까지의 거리:
$$r = \frac{|-(x_0 + 4\sqrt{3})y_B + 4\sqrt{3}y_0|}{\mathrm{AF}'}$$
이 식의 절댓값 내부는 항상 양수이므로 그대로 나옵니다.
$$r \cdot \mathrm{AF}' = -(x_0 + 4\sqrt{3})y_B + 4\sqrt{3}y_0 \quad \cdots \text{ (식 3)}$$
4. 식 연립하여 반지름 $r$ 구하기
이제 (식 2)와 (식 3)을 더해봅시다! 아주 놀랍도록 깔끔하게 정리됩니다.
$$r \cdot \mathrm{AF} + r \cdot \mathrm{AF}' = \left( (x_0 - 4\sqrt{3})y_B + 4\sqrt{3}y_0 \right) + \left( -(x_0 + 4\sqrt{3})y_B + 4\sqrt{3}y_0 \right)$$
$$r(\mathrm{AF} + \mathrm{AF}') = -8\sqrt{3}y_B + 8\sqrt{3}y_0$$
$$r(\mathrm{AF} + \mathrm{AF}') = 8\sqrt{3}(y_0 - y_B)$$
우리가 앞서 구한 값들을 대입해봅시다.
- 타원의 성질에서 $\mathrm{AF} + \mathrm{AF}' = 16$
- 넓이 조건에서 $y_0 - y_B = 6\sqrt{3}$
이를 대입하면,
$$r \times 16 = 8\sqrt{3} \times 6\sqrt{3}$$
$$16r = 8 \times 6 \times 3$$
$$16r = 144$$
$$r = 9$$
따라서 원 $C$의 반지름의 길이는 $9$입니다.
풀이 2) 대각선 $\mathrm{AB}$로 넓이 나누기
앞에서 확인한 거리식의 부호에 따라 $B$는 두 직선 $AF$, $AF'$ 사이에서 삼각형 $AFF'$의 내부 각을 이등분하는 쪽에 있습니다. 따라서 대각선 $AB$를 기준으로 사각형을 두 삼각형으로 나누어 넓이를 더할 수 있습니다.
원의 중심 $B$에서 두 접선까지의 거리는 모두 $r$이므로, 밑변을 각각 $AF$, $AF'$로 잡으면
입니다. 타원의 정의에서 $AF+AF'=16$이므로
$$72=\frac12r\cdot16=8r$$
에서 바로 $r=9$를 얻습니다.
답
② 9
확인해보기
이 문제에서 사각형 $\mathrm{AFBF}'$의 넓이를 구할 때, 왜 하필 $x$축(선분 $\mathrm{FF}'$)을 기준으로 두 삼각형으로 나누어 계산했을까요? 풀이 2)처럼 선분 $\mathrm{AB}$를 기준으로 나누면, 두 삼각형의 높이가 모두 원의 반지름이 되는 이유도 설명해 보세요.