어떤 문제인가
이 문제는 입체도형(정육면체) 안에서 세 점을 연결해 만든 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다. 공간도형 문제이지만, 단계를 나누어 생각하면 평면도형 문제처럼 쉽게 해결할 수 있습니다.
이 문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 피타고라스 정리: 직각삼각형에서 변의 길이를 구하는 데 사용합니다. 공간에서의 길이를 구할 때도 아주 유용해요.
- 코사인 법칙: 삼각형의 세 변의 길이를 알 때, 한 각의 코사인 값을 구하기 위해 사용합니다.
- 삼각형의 넓이 공식: 두 변의 길이와 그 끼인각의 사인($\sin$) 값을 알 때 넓이를 구하는 공식($S = \frac{1}{2}ab\sin\theta$)을 사용합니다.
단계별 풀이
1단계: 삼각형 $MEG$의 세 변의 길이 구하기
삼각형의 넓이를 구하기 위해 먼저 세 변 $ME$, $EG$, $MG$의 길이를 각각 구해보겠습니다. 정육면체의 한 모서리의 길이는 $4$이고, $M$은 $AD$의 중점이므로 $AM = MD = 2$입니다.
- **변 $ME$의 길이 구하기**
직각삼각형 $\text{MAE}$를 생각해보면, $\angle\text{MAE} = 90^\circ$입니다.
$AE = 4$, $AM = 2$이므로 피타고라스 정리에 의해:
$$ME = \sqrt{AE^2 + AM^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$
- **변 $EG$의 길이 구하기**
선분 $EG$는 밑면인 정사각형 $\text{EFGH}$의 대각선입니다.
직각삼각형 $\text{EFG}$에서 $EF = 4$, $FG = 4$이므로:
$$EG = \sqrt{EF^2 + FG^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$
- **변 $MG$의 길이 구하기**
점 $M$에서 밑면 $\text{EFGH}$에 내린 수선의 발을 $M'$이라고 해봅시다. $M'$은 선분 $EH$의 중점이 됩니다.
그러면 직각삼각형 $\text{M'HG}$에서 $M'H = 2$, $HG = 4$이므로 밑면에서의 길이 $M'G$는 다음과 같습니다.
$$M'G = \sqrt{M'H^2 + HG^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20}$$
이제 선분 $MM'$은 정육면체의 높이와 같으므로 $MM' = 4$입니다. 삼각형 $\text{MM'G}$는 $\angle\text{MM'G} = 90^\circ$인 직각삼각형이므로, 피타고라스 정리를 한 번 더 사용합니다.
$$MG = \sqrt{MM'^2 + M'G^2} = \sqrt{4^2 + (\sqrt{20})^2} = \sqrt{16 + 20} = \sqrt{36} = 6$$
이렇게 해서 삼각형 $MEG$의 세 변의 길이를 모두 구했습니다:
$$ME = 2\sqrt{5},\quad EG = 4\sqrt{2},\quad MG = 6$$
2단계: 끼인각의 코사인 값 구하기
삼각형 $MEG$에서 $\angle\text{MEG} = \theta$라고 두고, 코사인 법칙을 사용하여 $\cos\theta$를 구합니다.
코사인 법칙 공식:
$$MG^2 = ME^2 + EG^2 - 2 \cdot ME \cdot EG \cdot \cos\theta$$
구한 값들을 대입해봅시다:
$$6^2 = (2\sqrt{5})^2 + (4\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{2} \cdot \cos\theta$$
$$36 = 20 + 32 - 16\sqrt{10}\cos\theta$$
$$36 = 52 - 16\sqrt{10}\cos\theta$$
이 식을 정리하여 $\cos\theta$를 구합니다:
$$16\sqrt{10}\cos\theta = 16$$
$$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{10}}$$
3단계: 사인 값 구하기 및 삼각형의 넓이 계산하기
넓이 공식을 쓰기 위해 $\sin\theta$ 값이 필요합니다. $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$임을 이용합니다. ($\theta$는 삼각형의 내각이므로 $\sin\theta > 0$입니다.)
$$\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{10}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$$
이제 삼각형의 넓이 $S$를 구합니다:
$$S = \frac{1}{2} \cdot ME \cdot EG \cdot \sin\theta$$
$$S = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}}$$
$$S = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{10} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}}$$
$$S = 4 \cdot 3 = 12$$
답
④ $12$
확인해보기
이번 문제에서는 점 $M$이 선분 $AD$의 중점일 때의 넓이를 구했습니다. 만약 점 $M$이 움직여서 점 $A$와 완전히 겹치게 된다면(즉, $AM = 0$이 된다면), 이때 만들어지는 삼각형 $AEG$의 세 변의 길이 $AE$, $EG$, $AG$는 각각 얼마가 될지 피타고라스 정리를 이용해 직접 구해보세요.