어떤 문제인가
이 문제는 기하와 벡터(또는 이차곡선) 단원에서 자주 다루는 포물선의 정의를 활용하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 포물선의 정의: 포물선 위의 임의의 점에서 초점까지의 거리는 그 점에서 준선까지의 수직 거리와 같습니다.
- 좌표평면 위에서의 닮음(또는 길이의 비): 한 직선 위에 있는 선분들의 길이의 비는, 그 선분들을 좌표축에 투영(수선의 발을 내림)했을 때의 좌표 차이의 비와 같습니다.
이 두 가지 개념을 결합하여 복잡해 보이는 도형 문제를 아주 쉽고 명쾌하게 풀어봅시다!
단계별 풀이
1단계: 두 포물선의 초점과 준선 구하기
먼저 주어진 두 포물선의 식을 분석하여 각각의 초점의 좌표와 준선의 방정식을 구해봅시다.
- 첫 번째 포물선: $(y-a)^2 = 4px$ ($a, p > 0$)
* 이 포물선은 기본형 $y^2 = 4px$를 $y$축 방향으로 $a$만큼 평행이동한 것입니다.
* 따라서 초점 $\text{F}_1$의 좌표는 $\text{F}_1(p, a)$ 이고, 준선의 방정식은 $x = -p$ 입니다.
- 두 번째 포물선: $y^2 = -4x$
* 이 포물선은 기본형 $y^2 = 4(-1)x$ 입니다.
* 따라서 초점 $\text{F}_2$의 좌표는 $\text{F}_2(-1, 0)$ 이고, 준선의 방정식은 $x = 1$ 입니다.
여기서 두 초점 사이의 거리가 $\overline{\text{F}_1\text{F}_2} = 3$이라고 주어졌으므로, 두 점 사이의 거리 공식을 쓰면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.
$$\overline{\text{F}_1\text{F}_2}^2 = (p - (-1))^2 + (a - 0)^2 = 3^2$$
$$(p+1)^2 + a^2 = 9 \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
2단계: 포물선의 정의를 이용하여 식 세우기
점 $\text{P}$는 포물선 $(y-a)^2 = 4px$ 위의 점이고, 점 $\text{Q}$는 포물선 $y^2 = -4x$ 위의 점입니다. 포물선의 정의를 적용해 봅시다.
- 점 $\text{P}(x_P, y_P)$에서 초점 $\text{F}_1$까지의 거리는 준선 $x = -p$까지의 거리와 같습니다. 포물선이 오른쪽으로 열려 있으므로 $x_P > -p$입니다.
$$\overline{\text{P}\text{F}_1} = x_P - (-p) = x_P + p$$
- 점 $\text{Q}(x_Q, y_Q)$에서 초점 $\text{F}_2$까지의 거리는 준선 $x = 1$까지의 거리와 같습니다. 포물선이 왼쪽으로 열려 있으므로 $x_Q < 1$입니다.
$$\overline{\text{Q}\text{F}_2} = 1 - x_Q$$
문제에서 선분 위의 점들이 $\text{F}_2 - \text{Q} - \text{P} - \text{F}_1$ 순서로 놓여 있다고 했으므로, 전체 선분의 길이는 다음과 같이 쪼개어 합할 수 있습니다.
$$\overline{\text{F}_1\text{F}_2} = \overline{\text{F}_2\text{Q}} + \overline{\text{QP}} + \overline{\text{P}\text{F}_1}$$
여기에 주어진 값 $\overline{\text{F}_1\text{F}_2} = 3$, $\overline{\text{PQ}} = 1$을 대입해 볼까요?
$$3 = \overline{\text{F}_2\text{Q}} + 1 + \overline{\text{P}\text{F}_1}$$
$$\overline{\text{F}_2\text{Q}} + \overline{\text{P}\text{F}_1} = 2$$
이제 위에서 구한 포물선의 정의 식을 대입합니다.
$$(1 - x_Q) + (x_P + p) = 2$$
$$x_P - x_Q + p = 1 \quad \cdots \text{ (식 2)}$$
3단계: 닮음(비례 관계)을 이용하여 $x_P - x_Q$ 구하기
선분 $\text{F}_1\text{F}_2$는 좌표평면 위의 기울어진 선분입니다. 이 선분을 $x$축 위로 정사영(수선의 발을 내림)한다고 생각하면, 실제 선분의 길이의 비와 **$x$좌표 차이의 비**는 서로 같습니다.
- 전체 선분 $\text{F}_1\text{F}_2$의 길이는 $3$이고, 이때 두 끝점의 $x$좌표 차이는 $x_{\text{F}_1} - x_{\text{F}_2} = p - (-1) = p+1$ 입니다.
- 우리가 구하고자 하는 부분 선분 $\text{PQ}$의 길이는 $1$이고, 이때 두 점의 $x$좌표 차이는 $x_P - x_Q$ 입니다.
따라서 다음과 같은 비례식이 성립합니다.
$$\frac{x_P - x_Q}{p+1} = \frac{\overline{\text{PQ}}}{\overline{\text{F}_1\text{F}_2}} = \frac{1}{3}$$
이 식을 정리하면 $x_P - x_Q$를 $p$에 대한 식으로 나타낼 수 있습니다!
$$x_P - x_Q = \frac{p+1}{3} \quad \cdots \text{ (식 3)}$$
4단계: $p$와 $a^2$ 구하기
이제 (식 3)을 (식 2)에 대입하여 $p$의 값을 구해봅시다.
$$\frac{p+1}{3} + p = 1$$
양변에 $3$을 곱하면,
$$(p+1) + 3p = 3$$
$$4p = 2 \implies p = \frac{1}{2}$$
구한 $p = \frac{1}{2}$을 (식 1)에 대입하여 $a^2$을 구합니다.
$$\left(\frac{1}{2} + 1\right)^2 + a^2 = 9$$
$$\left(\frac{3}{2}\right)^2 + a^2 = 9$$
$$\frac{9}{4} + a^2 = 9 \implies a^2 = 9 - \frac{9}{4} = \frac{27}{4}$$
마지막으로 문제에서 요구한 $a^2 + p^2$의 값을 계산합니다.
$$a^2 + p^2 = \frac{27}{4} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{27}{4} + \frac{1}{4} = \frac{28}{4} = 7$$
답
**⑤ $7$**
확인해보기
포물선의 정의를 제대로 이해했는지 스스로 점검해봅시다.
> 질문: 포물선 $y^2 = 8x$ 위의 한 점 $\text{A}$에서 이 포물선의 초점 $\text{F}$까지의 거리가 $6$일 때, 점 $\text{A}$의 $x$좌표는 얼마일까요? (포물선의 정의와 준선의 방정식을 생각해보세요.)