어떤 문제인가
평면벡터의 내적 조건을 만족하며 움직이는 점 $P$와 원 위의 점 $X$에 대해 $|3\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OX}|$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 구하는 문제예요. 핵심 개념은 세 가지입니다. 첫째, 조건 (나)를 전개하면 $\overrightarrow{OP}\cdot(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})=3$이라는 선형 조건이 되어 점 $P$의 자취가 평행사변형 내부의 선분이 돼요. 둘째, 그 선분 위에서 $|\overrightarrow{OP}|$의 최대·최소를 구해요. 셋째, $X$가 원 위를 움직이므로 $|3\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OX}|$의 범위는 $3|\overrightarrow{OP}|\pm\sqrt2$로 정해집니다.
단계별 풀이
- 기본 내적을 먼저 계산해요. $\vec a=\overrightarrow{OA}$, $\vec b=\overrightarrow{OB}$라 하면
$$|\vec a|=\sqrt2,\quad |\vec b|=2\sqrt2,\quad \vec a\cdot\vec b=\sqrt2\cdot2\sqrt2\cdot\frac14=1$$
입니다.
- 조건 (나)를 정리해요. 평행사변형 $OACB$에서 $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\vec a$이고 $\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{OP}-\vec b$이므로
$$\overrightarrow{OP}\cdot\vec b+(\overrightarrow{OP}-\vec b)\cdot\vec a=\overrightarrow{OP}\cdot(\vec a+\vec b)-\vec a\cdot\vec b=2$$
$$\therefore\ \overrightarrow{OP}\cdot(\vec a+\vec b)=3$$
이 됩니다.
- $s,t$ 조건으로 바꿔요. $\overrightarrow{OP}=s\vec a+t\vec b$를 대입하면
$$s(|\vec a|^2+\vec a\cdot\vec b)+t(\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2)=s(2+1)+t(1+8)=3s+9t=3,$$
즉 $s+3t=1$이에요. 제약 $0\le s\le1,\ 0\le t\le1$에서 $t\in\left[0,\tfrac13\right]$, $s=1-3t$가 됩니다.
- $|\overrightarrow{OP}|$의 범위를 구해요.
$$|\overrightarrow{OP}|^2=s^2|\vec a|^2+2st(\vec a\cdot\vec b)+t^2|\vec b|^2=2s^2+2st+8t^2$$
여기에 $s=1-3t$를 대입하면
$$|\overrightarrow{OP}|^2=2(1-3t)^2+2t(1-3t)+8t^2=20t^2-10t+2$$
가 돼요. $t\in\left[0,\tfrac13\right]$에서 꼭짓점 $t=\tfrac14$가 구간 안에 있으므로
- 최솟값: $t=\tfrac14$에서 $20\cdot\tfrac1{16}-\tfrac{10}4+2=\tfrac34$, 즉 $|\overrightarrow{OP}|_{\min}=\tfrac{\sqrt3}2$
- 최댓값: $t=0$에서 $2$, $t=\tfrac13$에서 $\tfrac89$이므로 $|\overrightarrow{OP}|_{\max}=\sqrt2$
입니다.
- $M$, $m$을 계산해요. $X$는 중심 $O$, 반지름 $\overline{OA}=\sqrt2$인 원 위의 점이므로 고정된 $P$에 대해
$$|3\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OX}|\in\left[\,3|\overrightarrow{OP}|-\sqrt2,\ 3|\overrightarrow{OP}|+\sqrt2\,\right]$$
이에요. ($3|\overrightarrow{OP}|_{\min}=\tfrac{3\sqrt3}2\approx2.60>\sqrt2$이므로 항상 양수입니다.) 따라서
$$M=3\sqrt2+\sqrt2=4\sqrt2,\qquad m=\frac{3\sqrt3}{2}-\sqrt2$$
가 됩니다.
- 최종 계산을 해요.
$$M\times m=4\sqrt2\left(\frac{3\sqrt3}2-\sqrt2\right)=6\sqrt6-8$$
따라서 $a=6$, $b=-8$이고
$$a^2+b^2=36+64=100$$
입니다.
검산
최댓값은 $s=1$, $t=0$으로 $P=A$를 잡고, $\overrightarrow{OX}$를 $\overrightarrow{OA}$의 반대 방향으로 잡으면 실제로 얻어져요.
최솟값은 $s=t=\frac14$에서 얻어져요. 이때
$$\overrightarrow{OP}=\frac{\vec a+\vec b}{4},\qquad |\overrightarrow{OP}|^2=\frac{2+2+8}{16}=\frac34$$
이고, $\overrightarrow{OX}$를 $\overrightarrow{OP}$와 같은 방향으로 잡으면 $m=\frac{3\sqrt3}{2}-\sqrt2$가 됩니다. 두 경우 모두 $s+3t=1$을 만족하므로 실제로 가능한 최댓값과 최솟값이에요.
답
$$a^2+b^2=100$$
확인해보기
$X$가 원 위를 움직일 때 $|3\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OX}|$의 최댓값과 최솟값이 왜 $3|\overrightarrow{OP}|\pm\sqrt2$가 되는지, 벡터 $3\overrightarrow{OP}$의 끝점과 원의 위치 관계를 그림으로 그려서 스스로 설명해 볼 수 있나요?