반갑습니다! 공간도형과 정사영이 결합된 고난도 기하 문제를 함께 차근차근 해결해 봅시다. 복잡해 보이는 3차원 문제일수록 "상황을 단순화하는 도구"를 잘 사용하면 생각보다 쉽게 풀 수 있답니다. 선생님과 함께 한 단계씩 나아가 봐요!
어떤 문제인가
이 문제는 좌표공간에서 구와 평면, 그리고 정사영의 성질을 복합적으로 묻고 있습니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 좌표축 회전(단순화): 복잡한 방향으로 기울어진 평면을 우리가 보기 편한 축으로 회전시켜 생각하면 계산이 훨씬 간단해집니다.
- 정사영과 넓이: 평면 $\alpha$ 위의 도형의 넓이가 $S$일 때, 이 도형을 다른 평면 $\beta$ 위로 정사영한 도형의 넓이 $S'$은 두 평면이 이루는 이면각 $\theta$에 대해 $S' = S \cos\theta$가 됩니다.
- 최대·최소 기하학적 조건: 삼각형의 넓이를 최대화하기 위해 밑변과 높이가 각각 어떤 조건에서 최대가 되는지 파악해야 합니다.
단계별 풀이
1단계: 복잡한 좌표계를 우리에게 유리하게 회전하기 (단순화)
원점 $O(0,0,0)$과 $z$축 위의 점 $P(0,0,1)$, 그리고 구의 중심 $C(2, \sqrt{5}, 5)$를 지나는 평면 $OPC$를 생각해 봅시다.
$O$와 $P$가 모두 $z$축 위에 있으므로, 평면 $OPC$는 $z$축을 포함하는 수직 평면입니다.
이 평면을 다루기 쉽도록, $xy$평면 위에서 원점 $O$와 $C$의 정사영인 $C'(2, \sqrt{5}, 0)$을 잇는 직선을 새로운 **$u$축**으로 잡겠습니다.
- $O$에서 $C'$까지의 거리는 $\sqrt{2^2 + (\sqrt{5})^2} = 3$입니다.
- 이 $u$축과 수직이면서 $xy$평면 위에 있는 축을 **$v$축**이라 하고, 원래의 $z$축을 그대로 **$w$축**으로 두겠습니다.
이 새로운 $(u, v, w)$ 좌표계에서 점들의 좌표는 다음과 같이 아주 예쁘게 바뀝니다!
- 원점 $O = (0, 0, 0)$
- 점 $P = (0, 0, 1)$
- 구의 중심 $C = (3, 0, 5)$
구 $S$의 방정식은 이 새로운 좌표계에서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$(u-3)^2 + v^2 + (w-5)^2 = 25$$
2단계: 삼각형 $OQ_1R_1$의 넓이가 최대가 되는 조건 찾기
이제 점 $Q$와 $R$의 위치를 결정해 봅시다.
- **점 $Q$의 위치:**
점 $Q$는 구 $S$가 평면 $OPC$($v=0$인 $uw$평면)와 만나서 생기는 원 위를 움직입니다. 이 원의 방정식은 $v=0$을 대입한 $(u-3)^2 + (w-5)^2 = 25$입니다.
$Q$의 $xy$평면(여기서는 $uv$평면) 위로의 정사영인 $Q_1$은 $u$축 위에 존재하게 되며, $u$의 범위는 중심 $3$에서 반지름 $5$만큼 더하고 뺀 $[-2, 8]$이 됩니다.
즉, $Q_1 = (u, 0, 0)$ 이며, $u \in [-2, 8]$ 입니다.
- **점 $R$의 위치:**
점 $R$은 구 $S$ 위를 움직이므로, 그 정사영 $R_1$은 구를 $uv$평면에 정사영한 원판 $(u-3)^2 + v^2 \le 25$ 내부 또는 경계에 존재합니다.
- 넓이의 최대화:
삼각형 $OQ_1R_1$에서 밑변을 $OQ_1$로 잡으면, 넓이가 최대가 되기 위해서는:
- **밑변의 길이 $|OQ_1|$이 최대**여야 합니다. $u \in [-2, 8]$이므로 $u=8$일 때 원점으로부터의 거리인 밑변의 길이가 $8$로 최대가 됩니다. 이때 $Q_1 = (8, 0, 0)$이고, $Q$의 좌표는 $(8, 0, 5)$가 됩니다.
- **높이(점 $R_1$에서 $u$축까지의 거리 $|v|$)가 최대**여야 합니다. $R_1$이 속한 원판 $(u-3)^2 + v^2 \le 25$에서 $v$의 절댓값이 가장 클 때는 중심의 $u$좌표인 $u=3$일 때이며, 이때 $v = 5$ (또는 $-5$)가 됩니다. 우리는 $v=5$를 선택하겠습니다. 이때 $R_1 = (3, 5, 0)$이고, $R$의 좌표는 $(3, 5, 5)$가 됩니다.
따라서, 넓이가 최대일 때의 삼각형 $OQ_1R_1$의 넓이는 다음과 같습니다.
$$\text{넓이}(S) = \frac{1}{2} \times (\text{밑변 } 8) \times (\text{높이 } 5) = 20$$
3단계: 평면 $PQR$의 방정식 구하기
이제 삼각형 $OQ_1R_1$을 평면 $PQR$ 위로 정사영해야 하므로, 평면 $PQR$의 방정식을 구해봅시다.
우리가 구한 세 점의 좌표는 다음과 같습니다.
- $P(0, 0, 1)$
- $Q(8, 0, 5)$
- $R(3, 5, 5)$
평면의 방정식을 $au + bv + cw + d = 0$이라 두고 세 점을 대입해 봅시다.
- $P(0,0,1)$ 대입: $c + d = 0 \implies d = -c$
- $Q(8,0,5)$ 대입: $8a + 5c + d = 0 \implies 8a + 4c = 0 \implies c = -2a$
- $R(3,5,5)$ 대입: $3a + 5b + 5c + d = 0 \implies 3a + 5b + 4c = 0$
$c = -2a$를 세 번째 식에 대입하면:
$$3a + 5b - 8a = 0 \implies 5b = 5a \implies b = a$$
따라서 $a=1$로 두면 $b=1$, $c=-2$, $d=2$가 되어 평면 $PQR$의 방정식은 다음과 같습니다.
$$u + v - 2w + 2 = 0$$
이 평면의 법선벡터는 $\vec{h} = (1, 1, -2)$ 입니다.
4단계: 두 평면이 이루는 각과 정사영의 넓이 구하기
우리가 정사영을 보낼 원래의 도형은 $uv$평면($w=0$) 위에 있습니다.
- $uv$평면의 법선벡터는 $\vec{n} = (0, 0, 1)$ 입니다.
- 평면 $PQR$의 법선벡터는 $\vec{h} = (1, 1, -2)$ 입니다.
두 평면이 이루는 예각을 $\theta$라고 하면, 코사인 값은 두 법선벡터를 통해 구할 수 있습니다.
$$\cos\theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{h}|}{|\vec{n}||\vec{h}|} = \frac{|0 + 0 - 2|}{\sqrt{1} \times \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$
따라서, 삼각형 $OQ_1R_1$의 평면 $PQR$ 위로의 정사영의 넓이 $S'$은 다음과 같습니다.
$$S' = S \times \cos\theta = 20 \times \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{20}{3}\sqrt{6}$$
답
문제에서 정사영의 넓이가 $\frac{q}{p}\sqrt{6}$이라고 했으므로,
$$p = 3, \quad q = 20$$
두 수는 서로소인 자연수이므로 조건을 만족합니다.
따라서 구하고자 하는 값은 다음과 같습니다.
$$p + q = 3 + 20 = \mathbf{23}$$
확인해보기
삼각형 $OQ_1R_1$의 넓이가 최대가 될 때, 왜 점 $Q$와 점 $R$의 $z$좌표(새로운 좌표계에서의 $w$좌표)가 모두 **$5$**가 되어야만 했을까요? 구의 중심의 $z$좌표와 연관 지어 스스로 그 이유를 설명해 보세요.