어떤 문제인가
이 문제는 다항식 $(x+2)^7$을 전개했을 때, $x^5$ 항 앞에 붙는 숫자(계수)가 무엇인지 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 이항정리 (Binomial Theorem): 두 항의 합의 거듭제곱 $(a+b)^n$을 전개하는 공식입니다.
- **조합 (Combination, $_nC_r$)**: 서로 다른 $n$개 중에서 순서를 생각하지 않고 $r$개를 택하는 방법의 수입니다.
단계별 풀이
1단계: 이항정리의 일반항 세우기
$(x+2)^7$을 일일이 7번 곱해서 전개하는 것은 너무 복잡합니다. 이럴 때 사용하는 것이 바로 이항정리입니다.
$(a+b)^n$의 전개식에서 일반항(특정 항의 모양)은 다음과 같습니다.
$$_nC_r \cdot a^{n-r} \cdot b^r$$
이 문제에서는 $a = x$, $b = 2$, $n = 7$이므로, 일반항을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$_7C_r \cdot x^{7-r} \cdot 2^r \quad (단, \quad r = 0, 1, 2, \dots, 7)$$
2단계: $x^5$이 되는 $r$의 값 찾기
우리가 찾고 싶은 것은 $x^5$의 계수입니다.
일반항에서 $x$의 지수인 $7-r$이 $5$가 되어야 하므로, 방정식을 세워봅니다.
$$7-r = 5$$
이 식을 만족하는 $r$의 값은 다음과 같습니다.
$$r = 2$$
3단계: $r=2$를 대입하여 계수 계산하기
이제 일반항에 $r=2$를 대입하여 구체적인 항의 모습을 구합니다.
$$_7C_2 \cdot x^{7-2} \cdot 2^2 = _7C_2 \cdot x^5 \cdot 2^2$$
여기서 숫자 부분(계수)만 따로 떼어내어 계산해 봅시다. 계산해야 할 식은 $_7C_2 \cdot 2^2$입니다.
- **조합 $_7C_2$ 계산하기**:
$$_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$$
- **$2^2$ 계산하기**:
$$2^2 = 4$$
- 두 값을 곱하기:
$$21 \times 4 = 84$$
따라서 $x^5$의 항은 $84x^5$이 되며, 구하고자 하는 계수는 **$84$**입니다.
답
정답은 **④ $84$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 이항정리를 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 문제를 직접 풀어보세요.
> **Q. 다항식 $(x+3)^5$의 전개식에서 $x^3$의 계수는 얼마일까요?**