어떤 문제인가
이 문제는 이항분포를 따르는 확률변수의 성질을 이해하고, 이를 통해 미지수 $n$의 값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 확률변수의 변환과 분산의 성질: 확률변수 $X$에 상수 $a$를 곱했을 때, 분산은 어떻게 변하는가? ($V(aX) = a^2 V(X)$)
- 이항분포의 분산 공식: 이항분포 $B(n, p)$를 따르는 확률변수 $X$의 분산 $V(X)$를 구하는 방법 ($V(X) = np(1-p)$)
단계별 풀이
1단계: 분산의 성질을 이용하여 $V(X)$ 구하기
문제에서 $V(2X) = 40$이라고 주어졌습니다. 확률변수에 상수가 곱해졌을 때 분산이 어떻게 변하는지 떠올려 봅시다.
분산은 '평균으로부터 퍼져 있는 정도'를 나타내기 때문에, 모든 값에 $2$배를 해주면 퍼진 정도(표준편차)는 $2$배가 되고, 분산은 그의 제곱인 $2^2 = 4$배가 됩니다. 즉, 다음과 같은 성질이 성립합니다.
$$V(aX) = a^2 V(X)$$
이 성질을 문제에 적용해 볼까요?
$$V(2X) = 2^2 \cdot V(X) = 4V(X)$$
문제에서 $V(2X) = 40$이라고 했으므로,
$$4V(X) = 40$$
$$V(X) = 10$$
이로써 확률변수 $X$의 원래 분산이 $10$이라는 것을 알아냈습니다.
2단계: 이항분포의 분산 공식을 이용하여 $n$ 구하기
이제 확률변수 $X$가 이항분포 $B\left(n, \frac{1}{3}\right)$을 따른다는 조건을 사용할 차례입니다.
이항분포 $B(n, p)$에서 분산 $V(X)$를 구하는 공식은 다음과 같습니다.
$$V(X) = np(1-p)$$
여기서 시행 횟수는 $n$이고, 한 번의 시행에서 사건이 일어날 확률 $p = \frac{1}{3}$입니다. 공식에 대입해 보면,
$$V(X) = n \cdot \frac{1}{3} \cdot \left(1 - \frac{1}{3}\right)$$
$$V(X) = n \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}n$$
1단계에서 구한 $V(X) = 10$을 이 식에 대입하여 $n$의 값을 구합니다.
$$\frac{2}{9}n = 10$$
양변에 $\frac{9}{2}$를 곱해주면,
$$n = 10 \times \frac{9}{2}$$
$$n = 5 \times 9 = 45$$
따라서 구하고자 하는 $n$의 값은 $45$입니다.
답
④ $45$
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 문제를 직접 풀어보세요.
> [질문]
> 확률변수 $Y$가 이항분포 $B(n, 0.5)$를 따르고, $V(3Y) = 36$일 때, $n$의 값은 얼마일까요? (답은 스스로 계산해 보세요!)