어떤 문제인가
이 문제는 주어진 두 가지 조건을 만족하는 자연수 $a, b, c, d, e$의 순서쌍의 개수를 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리는 다음 2가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 인수분해와 소수의 성질: 조건 (나)의 절댓값과 이차식을 인수분해하여 자연수 $a, b$의 값을 먼저 구합니다.
- **중복조합 ($\text{H}$)**: 조건 (가)에서 남은 문자 $c, d, e$가 가질 수 있는 경우의 수를 구할 때, '서로 다른 상자에 같은 공을 넣는' 중복조합 개념을 적용합니다.
단계별 풀이
1단계: 조건 (나)를 이용해 $a$와 $b$ 구하기
조건 (나)는 $|a^2-b^2|=5$입니다. 합차공식을 이용해 식을 인수분해해 봅시다.
$$|a^2-b^2| = |(a-b)(a+b)| = |a-b|(a+b) = 5$$
(이때 $a, b$는 자연수이므로 $a+b$는 항상 양수입니다.)
$a$와 $b$가 자연수이므로, $|a-b|$와 $a+b$는 모두 정수입니다. 곱해서 소수인 $5$가 되는 두 정수의 조합은 많지 않아요. 게다가 $a, b \ge 1$이므로 $a+b \ge 2$입니다.
따라서 가능한 조합은 오직 하나뿐입니다.
- $a+b = 5$
- $|a-b| = 1$
이 연립방정식을 풀어볼까요?
- **경우 1 ($a > b$일 때)**: $a-b = 1$ 이고 $a+b = 5$ 이므로, 두 식을 더하면 $2a = 6 \implies a=3, b=2$가 됩니다.
- **경우 2 ($a < b$일 때)**: $b-a = 1$ 이고 $a+b = 5$ 이므로, 같은 방법으로 $a=2, b=3$이 됩니다.
즉, $(a, b)$로 가능한 순서쌍은 **$(3, 2)$와 $(2, 3)$으로 총 2가지**입니다.
그리고 어떤 경우든 **$a+b = 5$**라는 사실을 알 수 있습니다.
2단계: 조건 (가)에 대입하여 $c, d, e$에 대한 식 만들기
이제 조건 (가)인 $a+b+c+d+e=12$에 우리가 구한 $a+b=5$를 대입해 봅시다.
$$5 + c + d + e = 12$$
$$c + d + e = 7$$
우리가 찾아야 하는 것은 $c + d + e = 7$을 만족하는 자연수 $c, d, e$의 순서쌍의 개수입니다.
3단계: 중복조합을 이용하여 $c, d, e$의 순서쌍 개수 구하기
$c, d, e$는 자연수이므로 각각 최소한 $1$ 이상이어야 합니다. ($c \ge 1, d \ge 1, e \ge 1$)
중복조합 공식($_nH_r$)을 바로 쓰려면 변수가 $0$ 이상이어야 하므로, 다음과 같이 치환해 줍니다.
$$c' = c-1, \quad d' = d-1, \quad e' = e-1 \quad (c', d', e' \ge 0)$$
이 식을 $c + d + e = 7$에 대입하면,
$$(c'+1) + (d'+1) + (e'+1) = 7$$
$$c' + d' + e' = 4$$
이제 $0$ 이상의 정수 $c', d', e'$의 순서쌍의 개수를 구하는 문제가 되었으므로, 중복조합을 사용할 수 있습니다. 서로 다른 3개($c', d', e'$)에서 중복을 허용하여 4개를 택하는 조합의 수와 같습니다.
$${_3H_4} = {_{3+4-1}C_4} = {_6C_4} = {_6C_2}$$
$${_6C_2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$$
따라서 $c, d, e$를 결정하는 경우의 수는 15가지입니다.
4단계: 최종 순서쌍의 개수 계산하기
- $(a, b)$를 정하는 경우의 수: $2$가지
- $(c, d, e)$를 정하는 경우의 수: $15$가지
이 두 사건은 동시에(연이어) 일어나므로 곱의 법칙을 적용합니다.
$$\text{전체 순서쌍의 개수} = 2 \times 15 = 30$$
답
① 30
확인해보기
만약 조건 (가)가 $a+b+c+d+e = 11$로 바뀌고, 조건 (나)는 그대로 $|a^2-b^2|=5$라면 만족하는 자연수 순서쌍 $(a, b, c, d, e)$의 개수는 몇 개가 될까요? 스스로 단계를 밟아 계산해 보세요!