어떤 문제인가
이 문제는 1부터 10까지의 자연수가 적힌 10장의 카드 중에서 임의로 3장을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 카드 중 가장 작은 수가 특정 조건($4$ 이하이거나 $7$ 이상)을 만족할 확률을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **조합 (Combination, $_n\mathrm{C}_r$):** 순서에 상관없이 서로 다른 $n$개 중에서 $r$개를 택하는 경우의 수입니다.
- 여사건의 확률: 구하고자 하는 사건의 조건이 복잡할 때, '그 사건이 일어나지 않을 확률'을 전체 확률 $1$에서 빼서 구하는 방법입니다.
단계별 풀이
1단계: 전체 경우의 수 구하기
먼저 주머니에 있는 10장의 카드 중에서 순서에 상관없이 3장을 동시에 꺼내는 전체 경우의 수를 구합니다. 이는 조합을 이용하여 계산할 수 있습니다.
전체 경우의 수는 **$120$가지**입니다.
2단계: 여사건 생각하기
우리가 구하고자 하는 사건은 "가장 작은 수가 $4$ 이하이거나 $7$ 이상일 사건"입니다.
이 조건을 만족하는 경우를 직접 구하려면 $1, 2, 3, 4$가 가장 작은 수인 경우와 $7, 8$이 가장 작은 수인 경우를 모두 나누어 구해야 해서 번거롭습니다.
이럴 때는 반대되는 사건, 즉 여사건을 생각하면 훨씬 간단해집니다!
"가장 작은 수가 $4$ 이하이거나 $7$ 이상이다"의 반대는 무엇일까요?
바로 **"가장 작은 수가 $5$ 이거나 $6$이다"** (즉, 가장 작은 수가 $4$보다 크고 $7$보다 작다)가 됩니다.
가장 작은 수를 $X$라고 할 때, 여사건의 조건은 다음과 같습니다:
3단계: 여사건의 경우의 수 구하기
이제 여사건의 두 가지 경우를 나누어 경우의 수를 구해봅시다.
**경우 1) 가장 작은 수가 $5$인 경우 ($X = 5$)**
- 3장의 카드 중 가장 작은 수가 $5$이므로, 이미 $5$는 뽑아둔 상태입니다.
- 나머지 2장의 카드는 $5$보다 큰 수인 $\{6, 7, 8, 9, 10\}$ (총 5장) 중에서 뽑아야 합니다.
- 이 경우의 수는 다음과 같습니다:
**경우 2) 가장 작은 수가 $6$인 경우 ($X = 6$)**
- 3장의 카드 중 가장 작은 수가 $6$이므로, 이미 $6$은 뽑아둔 상태입니다.
- 나머지 2장의 카드는 $6$보다 큰 수인 $\{7, 8, 9, 10\}$ (총 4장) 중에서 뽑아야 합니다.
- 이 경우의 수는 다음과 같습니다:
따라서 여사건의 총 경우의 수는 $10 + 6 = 16$가지입니다.
4단계: 여사건의 확률을 이용하여 최종 확률 구하기
여사건의 확률을 구하면 다음과 같습니다.
우리가 구하고자 하는 확률은 전체 확률 $1$에서 여사건의 확률을 뺀 것입니다.
답
정답은 **③ $\frac{13}{15}$** 입니다.
확인해보기
공부한 내용을 바탕으로 다음 질문에 스스로 답해보며 이해했는지 확인해보세요.
> 질문: 1부터 8까지의 자연수가 적힌 8장의 카드가 들어 있는 주머니에서 임의로 3장의 카드를 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 카드에 적힌 세 자연수 중 가장 작은 수가 2 이하이거나 6 이상일 확률은 얼마일까요? (여사건을 이용해서 풀어보세요!)