어떤 문제인가
이 문제는 표본의 크기와 신뢰도가 다를 때, 각각의 신뢰구간을 구하고 주어진 조건을 이용해 미지수를 해결하는 '모평균의 추정' 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 정리해 두어야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 모평균의 신뢰구간 공식: 모표준편차가 $\sigma$, 표본의 크기가 $n$, 표본평균이 $\overline{x}$일 때, 신뢰도 $95\%$와 $99\%$의 신뢰구간은 다음과 같이 구합니다.
- 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간: $\left[\overline{x} - 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x} + 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$
- 신뢰도 $99\%$ 신뢰구간: $\left[\overline{x} - 2.58 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x} + 2.58 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$
- 신뢰구간의 길이: 신뢰구간의 양 끝값의 차이로, $b - a = 2 \times k \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$의 형태로 나타납니다.
단계별 풀이
1단계: 두 가지 상황에 대한 신뢰구간 식 세우기
문제에서 제시된 두 가지 상황을 공식에 대입하여 식으로 나타내 봅시다.
**첫 번째 상황 (신뢰도 $95\%$)**
- 표본의 크기 $n_1 = 100$
- 표본평균 $\overline{x}_1$
- 신뢰구간 $a \le m \le b$
공식을 적용하면,
$$a = \overline{x}_1 - 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{100}} = \overline{x}_1 - 1.96 \frac{\sigma}{10}$$
$$b = \overline{x}_1 + 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{100}} = \overline{x}_1 + 1.96 \frac{\sigma}{10}$$
**두 번째 상황 (신뢰도 $99\%$)**
- 표본의 크기 $n_2 = 400$
- 표본평균 $\overline{x}_2$
- 신뢰구간 $c \le m \le d$
공식을 적용하면,
$$c = \overline{x}_2 - 2.58 \frac{\sigma}{\sqrt{400}} = \overline{x}_2 - 2.58 \frac{\sigma}{20}$$
$$d = \overline{x}_2 + 2.58 \frac{\sigma}{\sqrt{400}} = \overline{x}_2 + 2.58 \frac{\sigma}{20}$$
2단계: 조건 $a = c$를 이용하여 식 정리하기
문제에서 $a = c$라고 했습니다. 위에서 구한 $a$와 $c$의 식을 같다고 놓아봅시다.
$$\overline{x}_1 - 1.96 \frac{\sigma}{10} = \overline{x}_2 - 2.58 \frac{\sigma}{20}$$
우리가 알고 있는 값 중에는 $\overline{x}_1 - \overline{x}_2 = 1.34$가 있습니다. 이 모양을 만들기 위해 $\overline{x}_2$를 좌변으로 이항하고, $\sigma$가 있는 항을 우변으로 이항해 정리해 봅시다.
$$\overline{x}_1 - \overline{x}_2 = 1.96 \frac{\sigma}{10} - 2.58 \frac{\sigma}{20}$$
소수로 계산하기 편하게 우변의 분모를 정리해 볼까요?
- $1.96 \frac{\sigma}{10} = 0.196\sigma$
- $2.58 \frac{\sigma}{20} = 0.129\sigma$
따라서 식은 다음과 같이 아주 간단해집니다.
$$\overline{x}_1 - \overline{x}_2 = 0.196\sigma - 0.129\sigma$$
$$\overline{x}_1 - \overline{x}_2 = 0.067\sigma$$
3단계: 모표준편차 $\sigma$ 구하기
이제 문제에서 준 조건인 $\overline{x}_1 - \overline{x}_2 = 1.34$를 대입해 봅시다.
$$1.34 = 0.067\sigma$$
양변을 $0.067$로 나누어 $\sigma$를 구합니다.
$$\sigma = \frac{1.34}{0.067} = \frac{1340}{67} = 20$$
모표준편차 $\sigma$의 값이 $20$이라는 것을 알아냈습니다!
4단계: 구하고자 하는 $b - a$ 계산하기
우리가 최종적으로 구해야 하는 값은 첫 번째 신뢰구간의 길이인 $b - a$입니다.
$$b - a = \left(\overline{x}_1 + 1.96 \frac{\sigma}{10}\right) - \left(\overline{x}_1 - 1.96 \frac{\sigma}{10}\right)$$
$$b - a = 2 \times 1.96 \frac{\sigma}{10}$$
여기에 우리가 구한 $\sigma = 20$을 대입합니다.
$$b - a = 2 \times 1.96 \times \frac{20}{10}$$
$$b - a = 2 \times 1.96 \times 2$$
$$b - a = 4 \times 1.96 = 7.84$$
답
② $7.84$
확인해보기
신뢰구간의 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
> 질문: 신뢰도를 $95\%$로 일정하게 유지하면서 표본의 크기 $n$을 $4$배로 늘리면, 신뢰구간의 길이는 처음 길이에 비해 어떻게 변할까요? (몇 배가 될지 생각해 보세요.)