어떤 문제인가
이 문제는 주어진 두 조건에 맞는 함수의 개수를 구하는 문제입니다. 고등학교 수학에서 자주 다루는 '경우의 수'와 '함수의 정의'를 결합한 문제로, 다음 3가지 핵심 개념을 사용합니다.
- 함수의 대응과 조건 해석: 조건 (가) $f(x) \ge \sqrt{x}$를 만족하는 각 원소의 함숫값 후보를 먼저 찾습니다.
- 치역(Range)의 정의: 조건 (나)에서 치역의 원소 개수가 $3$개라는 것은, 공역 $Y$의 원소 중 실제로 화살표를 받는 원소가 딱 $3$개뿐이라는 뜻입니다.
- 경우의 수 나누기 (분류): 치역이 될 수 있는 집합을 먼저 정한 뒤, 각 경우에 맞는 함수의 개수를 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 조건 (가)를 만족하는 각 원소의 함숫값 후보 찾기
조건 (가)는 모든 $x \in X$에 대해 $f(x) \ge \sqrt{x}$라고 했습니다. $X = \{1, 2, 3, 4, 5\}$이고 공역 $Y = \{1, 2, 3, 4\}$이므로, 각 원소가 가질 수 있는 함숫값을 정리해 봅시다.
- $x = 1$일 때: $f(1) \ge \sqrt{1} = 1 \implies f(1) \in \{1, 2, 3, 4\}$
- $x = 2$일 때: $f(2) \ge \sqrt{2} \approx 1.414 \implies f(2) \in \{2, 3, 4\}$
- $x = 3$일 때: $f(3) \ge \sqrt{3} \approx 1.732 \implies f(3) \in \{2, 3, 4\}$
- $x = 4$일 때: $f(4) \ge \sqrt{4} = 2 \implies f(4) \in \{2, 3, 4\}$
- $x = 5$일 때: $f(5) \ge \sqrt{5} \approx 2.236 \implies f(5) \in \{3, 4\}$
여기서 아주 중요한 사실을 알 수 있습니다. **$1$을 함숫값으로 가질 수 있는 원소는 오직 $x=1$뿐**입니다!
2단계: 조건 (나)에 따라 치역의 원소가 3개인 경우 나누기
공역 $Y = \{1, 2, 3, 4\}$ 중에서 원소가 $3$개인 부분집합(치역이 될 후보)을 고르는 방법은 $\binom{4}{3} = 4$가지가 있습니다. 이 4가지 경우를 나누어 각각 함수의 개수를 구해보겠습니다.
[경우 1] 치역이 $\{1, 2, 3\}$인 경우
- 치역에 $1$이 포함되어 있으므로, 반드시 $f(1) = 1$이어야 합니다. (다른 원소는 $1$로 갈 수 없기 때문입니다.)
- 이제 남은 원소 $\{2, 3, 4, 5\}$의 함숫값은 $\{2, 3\}$ 중에서 결정되어야 합니다. (치역에 $4$가 없으므로 $4$는 선택할 수 없습니다.)
- $f(5)$는 원래 $\{3, 4\}$만 가능했는데, $4$를 선택할 수 없으므로 **$f(5) = 3$으로 고정**됩니다.
- $f(2), f(3), f(4)$는 $\{2, 3\}$ 중에서 자유롭게 선택할 수 있으므로 각각 $2$가지씩, 총 $2^3 = 8$가지 경우가 있습니다.
- 하지만 치역이 $\{1, 2, 3\}$이 되려면 **$2$도 최소한 한 번은 화살표를 받아야 합니다.** (이미 $f(1)=1, f(5)=3$이므로 $1$과 $3$은 치역에 포함되었습니다.)
- 따라서 $f(2), f(3), f(4)$가 모두 $3$으로 가는 경우($1$가지)를 제외해야 합니다.
- 개수: $8 - 1 = 7$가지
[경우 2] 치역이 $\{1, 2, 4\}$인 경우
- [경우 1]과 대칭적인 구조입니다.
- 치역에 $1$이 있으므로 $f(1) = 1$로 고정됩니다.
- 치역에 $3$이 없으므로 $f(5) \in \{3, 4\}$에서 $f(5) = 4$로 고정됩니다.
- $f(2), f(3), f(4)$는 $\{2, 4\}$ 중에서 선택해야 하며, 모두 $4$로 가는 경우($1$가지)를 제외해야 $2$가 치역에 포함됩니다.
- 개수: $2^3 - 1 = 7$가지
[경우 3] 치역이 $\{1, 3, 4\}$인 경우
- 치역에 $1$이 있으므로 $f(1) = 1$로 고정됩니다.
- 치역에 $2$가 없으므로, 남은 원소 $\{2, 3, 4, 5\}$는 모두 $\{3, 4\}$ 중에서 함숫값을 가져야 합니다.
- $f(2), f(3), f(4), f(5)$ 모두 $\{3, 4\}$ 중에서 선택할 수 있으므로 전체 경우는 $2^4 = 16$가지입니다.
- 여기서 치역이 $\{1, 3, 4\}$가 되려면 $\{2, 3, 4, 5\}$의 함숫값에 $3$과 $4$가 모두 적어도 하나씩은 포함되어야 합니다.
- 즉, 모두 $3$으로만 가는 경우($1$가지)와 모두 $4$로만 가는 경우($1$가지)를 제외해야 합니다.
- 개수: $16 - 2 = 14$가지
[경우 4] 치역이 $\{2, 3, 4\}$인 경우
- 이 경우 치역에 $1$이 포함되지 않으므로, 모든 원소 $x \in X$의 함숫값은 $\{2, 3, 4\}$ 중에서 결정됩니다.
- $f(5)$의 값에 따라 경우를 나누어 계산하는 것이 편리합니다. $f(5)$는 $3$ 또는 $4$만 가능합니다.
**① $f(5) = 3$인 경우**
* $\{1, 2, 3, 4\}$의 함숫값이 $\{2, 3, 4\}$ 중에서 결정되어야 합니다.
* 이미 $f(5)=3$이므로 치역에 $3$은 확보되었습니다. 따라서 $\{1, 2, 3, 4\}$의 함숫값에 **$2$와 $4$가 반드시 포함**되어야 치역이 $\{2, 3, 4\}$가 됩니다.
* 전체 경우의 수: $3^4 = 81$가지
* $2$가 포함되지 않는 경우(즉, $\{3, 4\}$로만 대응): $2^4 = 16$가지
* $4$가 포함되지 않는 경우(즉, $\{2, 3\}$으로만 대응): $2^4 = 16$가지
* $2$와 $4$가 둘 다 포함되지 않는 경우(즉, $\{3\}$으로만 대응): $1^4 = 1$가지
* 여사건의 원리에 의해 $2$와 $4$를 모두 포함하는 경우의 수는:
$$81 - (16 + 16 - 1) = 50\text{가지}$$
**② $f(5) = 4$인 경우**
* ①번 상황과 대칭적입니다. 이번에는 치역에 $4$가 확보되었으므로, $\{1, 2, 3, 4\}$의 함숫값에 **$2$와 $3$이 반드시 포함**되어야 합니다.
* 같은 방식으로 계산하면 동일하게 $50$가지가 나옵니다.
- 개수: $50 + 50 = 100$가지
3단계: 전체 함수의 개수 합산하기
모든 경우는 서로 동시에 일어날 수 없으므로(합의 법칙), 구한 값들을 모두 더합니다.
$$\text{전체 함수의 개수} = 7 + 7 + 14 + 100 = 128$$
답
정답은 **① $128$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 내용을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
> 질문: 만약 조건 (나)에서 "치역의 원소의 개수가 $2$개"라고 바뀌고, 그 치역이 $\{3, 4\}$로 정해졌다면, 조건 (가)를 만족하는 함수 $f$의 개수는 몇 개가 될까요? (여사건을 이용해서 직접 계산해 보세요!)