어떤 문제인가
이 문제는 연속확률변수와 확률밀도함수의 성질을 이해하고, 이를 활용해 특정 구간의 확률을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 확률밀도함수의 성질: 확률변수가 가질 수 있는 모든 범위에서 확률밀도함수의 그래프와 $x$축 사이의 전체 넓이는 항상 $1$입니다.
- 확률과 넓이의 관계: 연속확률변수가 특정 구간에 속할 확률은 그 구간에서 확률밀도함수 그래프 아랫부분의 넓이와 같습니다.
- 정적분의 성질: 두 함수의 합으로 이루어진 식을 적분하여 미지수를 구할 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 상수 $k$의 값 구하기
확률변수 $X$와 $Y$가 갖는 값의 범위가 모두 $0 \le X \le 6$, $0 \le Y \le 6$이므로, 각각의 확률밀도함수 $f(x)$와 $g(x)$의 전체 구간에서의 넓이(정적분 값)는 $1$이 되어야 합니다.
즉, 다음이 성립합니다.
$$\int_{0}^{6} f(x) \, dx = 1, \quad \int_{0}^{6} g(x) \, dx = 1$$
문제에서 주어진 관계식 $f(x) + g(x) = k$의 양변을 $0$부터 $6$까지 적분해 봅시다.
$$\int_{0}^{6} \{f(x) + g(x)\} \, dx = \int_{0}^{6} k \, dx$$
이 식을 나누어 쓰면 다음과 같습니다.
$$\int_{0}^{6} f(x) \, dx + \int_{0}^{6} g(x) \, dx = [kx]_{0}^{6}$$
여기에 위에서 구한 넓이 $1$을 각각 대입하면,
$$1 + 1 = 6k$$
$$2 = 6k \implies k = \frac{1}{3}$$
상수 $k$의 값은 $\frac{1}{3}$임을 알 수 있습니다.
2단계: 구하고자 하는 확률을 기호로 나타내기
우리가 구해야 하는 값은 $\mathrm{P}(6k \le Y \le 15k)$입니다. 여기에 $k = \frac{1}{3}$을 대입해 볼까요?
- $6k = 6 \times \frac{1}{3} = 2$
- $15k = 15 \times \frac{1}{3} = 5$
따라서 우리가 구해야 하는 확률은 **$\mathrm{P}(2 \le Y \le 5)$**입니다.
이 확률은 $y = g(x)$ 그래프에서 $x = 2$부터 $x = 5$까지의 넓이와 같습니다. 즉,
$$\mathrm{P}(2 \le Y \le 5) = \int_{2}^{5} g(x) \, dx$$
3단계: $g(x)$의 넓이를 $f(x)$를 이용해 표현하기
우리는 $g(x)$의 식을 직접 알지 못하지만, $f(x) + g(x) = \frac{1}{3}$이라는 관계식을 알고 있습니다. 이를 $g(x)$에 대해 정리하면 다음과 같습니다.
$$g(x) = \frac{1}{3} - f(x)$$
이 식을 우리가 구하고자 하는 확률 식에 대입해 봅시다.
$$\mathrm{P}(2 \le Y \le 5) = \int_{2}^{5} \left( \frac{1}{3} - f(x) \right) \, dx$$
$$\mathrm{P}(2 \le Y \le 5) = \int_{2}^{5} \frac{1}{3} \, dx - \int_{2}^{5} f(x) \, dx$$
첫 번째 항을 계산하면 다음과 같습니다.
$$\int_{2}^{5} \frac{1}{3} \, dx = \frac{1}{3} \times (5 - 2) = 1$$
따라서 구하고자 하는 확률은 다음과 같이 정리됩니다.
$$\mathrm{P}(2 \le Y \le 5) = 1 - \int_{2}^{5} f(x) \, dx$$
이제 우리는 $x=2$부터 $x=5$까지 $f(x)$ 그래프 아랫부분의 넓이만 구하면 됩니다!
4단계: $f(x)$ 그래프에서 $x=2$부터 $x=5$까지의 넓이 구하기
$f(x)$의 그래프를 구간별로 나누어 넓이를 구해 봅시다. 구하고자 하는 구간은 $[2, 5]$입니다. 이 구간을 $[2, 3]$과 $[3, 5]$의 두 구간으로 나누어 계산하겠습니다.
**① 구간 $[2, 3]$에서의 넓이**
- $x=0$부터 $x=3$까지 $f(x)$는 원점 $(0,0)$과 점 $(3, \frac{1}{4})$을 지나는 직선입니다.
- 이 직선의 방정식은 $f(x) = \frac{1}{12}x$입니다.
- 따라서 $x=2$일 때의 함숫값은 $f(2) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$입니다.
- 구간 $[2, 3]$ 아래의 도형은 아랫변이 $f(2)=\frac{1}{6}$, 윗변이 $f(3)=\frac{1}{4}$, 높이가 $3-2=1$인 사다리꼴입니다.
$$\text{사다리꼴의 넓이} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{4} \right) \times 1 = \frac{1}{2} \times \frac{5}{12} = \frac{5}{24}$$
**② 구간 $[3, 5]$에서의 넓이**
- 이 구간에서 $f(x) = \frac{1}{4}$로 일정합니다.
- 따라서 가로의 길이가 $5-3=2$이고 세로의 길이가 $\frac{1}{4}$인 직사각형의 넓이와 같습니다.
$$\text{직사각형의 넓이} = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2} = \frac{12}{24}$$
③ 두 구간의 넓이 합치기
$$\int_{2}^{5} f(x) \, dx = \frac{5}{24} + \frac{12}{24} = \frac{17}{24}$$
5단계: 최종 답 계산하기
3단계에서 세운 식에 구한 넓이를 대입합니다.
$$\mathrm{P}(2 \le Y \le 5) = 1 - \int_{2}^{5} f(x) \, dx = 1 - \frac{17}{24} = \frac{7}{24}$$
따라서 $\frac{q}{p} = \frac{7}{24}$입니다.
$7$과 $24$는 서로소인 자연수이므로, $p = 24$, $q = 7$입니다.
우리가 구하고자 하는 값은 $p+q$이므로,
$$p+q = 24 + 7 = 31$$
답
$$31$$
확인해보기
확률밀도함수 $f(x)$의 그래프 아랫부분의 전체 넓이(즉, 전 구간에서의 확률의 합)가 항상 $1$이 되어야 하는 이유는 무엇일까요? 확률의 정의와 관련지어 스스로 생각해보세요.