어떤 문제인가
이 문제는 주사위를 던지는 시행을 5번 반복하면서 주머니에 공을 넣는 상황입니다. 우리가 주목해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 독립시행의 확률: 매번 주사위를 던질 때마다 원하는 결과가 나올 확률은 변하지 않습니다. 이를 이용해 특정 상황이 일어날 확률을 구합니다.
- 조건부 확률: "$A$일 때, $B$일 확률"을 구하는 문제입니다. 전체 표본공간이 아니라, 주어진 조건 $A$가 일어난 사건 안에서 사건 $B$가 일어날 비율을 구해야 합니다.
- 방정식을 통한 상황 분석: $a_k = b_k$라는 조건이 실제로 몇 번째 시행($k$)에서 일어날 수 있는지 수학적으로 분석해야 합니다.
단계별 풀이
1단계: 한 번의 시행에서 일어날 확률 정리하기
먼저 주사위를 한 번 던질 때 어떤 일이 일어나는지 정리해 봅시다.
- **사건 $W$ (흰 공 2개 추가)**: 주사위 눈이 5 이상 ($5, 6$) 나올 확률
$$P(W) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$
- **사건 $B$ (검은 공 1개 추가)**: 주사위 눈이 4 이하 ($1, 2, 3, 4$) 나올 확률
$$P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$
2단계: 조건 $a_5 + b_5 \ge 7$ 분석하기 (분모 구하기)
5번의 시행 중 사건 $W$가 일어난 횟수를 $x$, 사건 $B$가 일어난 횟수를 $y$라고 합시다.
총 5번 시행하므로 다음과 같은 관계식이 성립합니다.
$$x + y = 5 \implies y = 5 - x$$
5번째 시행 후 주머니에 있는 공의 개수는 다음과 같습니다.
- 흰 공의 개수: $a_5 = 2x$ (한 번 일어날 때마다 2개씩 추가)
- 검은 공의 개수: $b_5 = y$ (한 번 일어날 때마다 1개씩 추가)
문제의 조건에서 $a_5 + b_5 \ge 7$이라고 했으므로, 이를 $x$에 대한 식으로 나타내어 봅시다.
$$2x + y \ge 7$$
$$2x + (5 - x) \ge 7$$
$$x + 5 \ge 7 \implies x \ge 2$$
즉, 5번의 시행 중 **사건 $W$가 2번 이상** 일어나야 합니다. 이 사건을 $M$이라 하고, 확률 $P(M)$을 구해봅시다. $x$는 $2, 3, 4, 5$가 가능합니다.
- $x=2$ 일 확률: $\binom{5}{2} \left(\frac{1}{3}\right)^2 \left(\frac{2}{3}\right)^3 = 10 \times \frac{8}{243} = \frac{80}{243}$
- $x=3$ 일 확률: $\binom{5}{3} \left(\frac{1}{3}\right)^3 \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 10 \times \frac{4}{243} = \frac{40}{243}$
- $x=4$ 일 확률: $\binom{5}{4} \left(\frac{1}{3}\right)^4 \left(\frac{2}{3}\right)^1 = 5 \times \frac{2}{243} = \frac{10}{243}$
- $x=5$ 일 확률: $\binom{5}{5} \left(\frac{1}{3}\right)^5 \left(\frac{2}{3}\right)^0 = 1 \times \frac{1}{243} = \frac{1}{243}$
따라서 조건 만족 확률 $P(M)$은 다음과 같습니다.
$$P(M) = \frac{80 + 40 + 10 + 1}{243} = \frac{131}{243}$$
3단계: 조건 $a_k = b_k$가 존재할 조건 분석하기
이제 $a_k = b_k$를 만족하는 자연수 $k(1 \le k \le 5)$가 존재하는 사건을 $E$라고 합시다.
$k$번째 시행까지 사건 $W$가 $w_k$번 일어났다고 하면, 사건 $B$는 $k - w_k$번 일어났을 것입니다.
- $a_k = 2w_k$
- $b_k = k - w_k$
두 공의 개수가 같아지려면 ($a_k = b_k$):
$$2w_k = k - w_k \implies 3w_k = k$$
여기서 $w_k$는 사건이 일어난 횟수이므로 반드시 정수여야 합니다. 따라서 $k$는 3의 배수여야만 합니다!
$1 \le k \le 5$ 범위에서 3의 배수는 오직 **$k=3$**뿐입니다.
즉, $a_k = b_k$가 존재한다는 조건은 **"3번째 시행에서 흰 공과 검은 공의 개수가 같다 ($a_3 = b_3$)"**는 말과 완전히 같습니다.
이때 $3w_3 = 3 \implies w_3 = 1$이므로, **첫 3번의 시행 중 사건 $W$가 정확히 1번** 일어나야 합니다.
4단계: 두 조건이 동시에 일어날 확률 $P(E \cap M)$ 구하기 (분자 구하기)
우리가 구해야 할 것은 $P(E \cap M)$, 즉 다음 두 가지를 동시에 만족하는 확률입니다.
- 앞의 3번 시행: 사건 $W$가 1번, 사건 $B$가 2번 일어남 ($a_3 = b_3$ 만족)
- 전체 5번 시행: 사건 $W$가 총 2번 이상 일어남 ($a_5 + b_5 \ge 7$ 만족)
이미 앞의 3번 시행에서 $W$가 1번 나왔으므로, 전체에서 $W$가 2번 이상 나오려면 **뒤의 2번 시행(4번째, 5번째)에서 $W$가 적어도 1번 이상** 나와야 합니다.
각각의 확률을 구해 곱해봅시다.
- **앞의 3번 시행에서 $W$가 1번 나올 확률**:
$$P_1 = \binom{3}{1} \left(\frac{1}{3}\right)^1 \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 3 \times \frac{4}{27} = \frac{4}{9}$$
- **뒤의 2번 시행에서 $W$가 적어도 1번 나올 확률**:
전체 확률(1)에서 뒤의 2번 모두 $B$가 나올 확률을 빼는 여사건으로 구하는 것이 쉽습니다.
$$P_2 = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$$
따라서 두 조건이 동시에 일어날 확률 $P(E \cap M)$은 다음과 같습니다.
$$P(E \cap M) = P_1 \times P_2 = \frac{4}{9} \times \frac{5}{9} = \frac{20}{81} = \frac{60}{243}$$
5단계: 조건부 확률 계산하기
이제 마지막으로 조건부 확률 공식을 적용합니다.
$$P(E|M) = \frac{P(E \cap M)}{P(M)} = \frac{\frac{60}{243}}{\frac{131}{243}} = \frac{60}{131}$$
$131$은 소수이므로, $\frac{60}{131}$은 더 이상 약분되지 않는 서로소인 분수입니다.
따라서 $p = 131$, $q = 60$입니다.
우리가 구하고자 하는 값은 $p+q$이므로:
$$p+q = 131 + 60 = 191$$
답
$$191$$
확인해보기
공을 넣는 규칙을 다음과 같이 바꾸었다고 가정해 봅시다.
> "주사위를 던져 5 이상이 나오면 흰 공 3개를 넣고, 4 이하가 나오면 검은 공 1개를 넣는다."
이 규칙으로 바뀐다면, $a_k = b_k$가 성립할 수 있는 자연수 $k(1 \le k \le 5)$는 어떤 값들이 가능할까요? (직접 식을 세워 $k$의 조건을 찾아보세요!)