어떤 문제인가
이 문제는 수열의 극한값을 구하는 문제입니다. $n$이 무한히 커질 때($n \to \infty$), 주어진 분수식이 어떤 값에 가까워지는지 찾아야 합니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **$\infty - \infty$ 꼴의 부정형**: 분모를 보면 $n \to \infty$일 때 $\sqrt{n^2+3n} - \sqrt{n^2+n}$이 되어 $\infty - \infty$ 형태가 됩니다. 이 상태로는 극한값을 바로 알 수 없습니다.
- 분모의 유리화: 루트($\sqrt{}$)가 포함된 $\infty - \infty$ 꼴은 합차 공식 $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$을 이용하여 분모를 유리화해 줍니다.
- **$\frac{\infty}{\infty}$ 꼴의 극한**: 유리화를 하고 나면 분모와 분자가 모두 무한대로 가는 꼴이 되는데, 이때는 분모의 최고차항으로 분모·분자를 나누어 극한값을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 식의 형태 분석하고 유리화 준비하기
주어진 식은 다음과 같습니다.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n^2+3n} - \sqrt{n^2+n}}$$
분모가 $\infty - \infty$ 꼴이므로, 분모를 유리화하기 위해 분모와 분자에 분모의 '켤레식'인 $\sqrt{n^2+3n} + \sqrt{n^2+n}$을 곱해줍니다.
$$\frac{1 \times \left(\sqrt{n^2+3n} + \sqrt{n^2+n}\right)}{\left(\sqrt{n^2+3n} - \sqrt{n^2+n}\right)\left(\sqrt{n^2+3n} + \sqrt{n^2+n}\right)}$$
2단계: 분모 단순화하기
분모에 합차 공식 $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$을 적용하여 전개해 봅시다.
$$\text{분모} = (\sqrt{n^2+3n})^2 - (\sqrt{n^2+n})^2$$
$$\text{분모} = (n^2+3n) - (n^2+n)$$
$$\text{분모} = 2n$$
분모가 아주 깔끔하게 $2n$으로 정리되었습니다! 이제 원래 식에 대입해 볼까요?
$$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2+3n} + \sqrt{n^2+n}}{2n}$$
3단계: 분모의 최고차항으로 나누어 극한값 구하기
이제 식은 $n \to \infty$일 때 $\frac{\infty}{\infty}$ 꼴이 되었습니다. 분모의 최고차항은 $n$ (1차)입니다. 분자도 루트 안에 $n^2$이 있으므로 사실상 1차식입니다.
분모와 분자를 각각 $n$으로 나누어 줍니다. 이때 루트 안으로 $n$이 들어가면 $n^2$이 된다는 점에 주의하세요! ($\sqrt{n^2} = n$, 단 $n>0$)
$$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{n^2+3n}}{n} + \frac{\sqrt{n^2+n}}{n}}{\frac{2n}{n}}$$
$$= \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{n^2+3n}{n^2}} + \sqrt{\frac{n^2+n}{n^2}}}{2}$$
$$= \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{3}{n}} + \sqrt{1 + \frac{1}{n}}}{2}$$
$n \to \infty$일 때, $\frac{3}{n} \to 0$이고 $\frac{1}{n} \to 0$이 되므로 극한값은 다음과 같이 계산됩니다.
$$\frac{\sqrt{1 + 0} + \sqrt{1 + 0}}{2} = \frac{1 + 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$$
답
**① $1$**
확인해보기
오늘 배운 유리화 방법을 잘 이해했는지 확인해 볼까요? 다음 극한값은 얼마가 될지 스스로 계산해 보세요. (힌트: 이번에도 분모를 유리화해 보세요!)
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n^2+4n} - \sqrt{n^2+2n}}$$