어떤 문제인가
이 문제는 주어진 곡선 위의 한 점에서의 접선의 기울기를 구하는 문제입니다.
우리가 배운 함수 $y = f(x)$ 꼴이 아니라, $x$와 $y$가 한 방정식에 섞여 있는 음함수의 형태를 띄고 있네요. 이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 것입니다.
- 음함수의 미분법: $y$를 $x$에 대한 함수로 생각하고, 양변을 $x$에 대해 미분합니다.
- 곱의 미분법: 두 함수의 곱으로 이루어진 항($(fg)' = f'g + fg'$)을 미분할 때 사용합니다.
- 로그함수의 미분: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ 임을 이용합니다.
단계별 풀이
1단계: 음함수의 미분법 적용하기
주어진 곡선의 방정식은 다음과 같습니다.
$$x^2 - y \ln x + x = e$$
이 식의 양변을 $x$에 대하여 미분해 봅시다. 이때 $y$는 $x$에 대한 함수이므로, $y$를 미분할 때는 합성함수의 미분법에 의해 $\frac{dy}{dx}$를 곱해주어야 합니다.
각 항을 하나씩 미분해 볼까요?
- **첫 번째 항 ($x^2$):** $x$에 대해 미분하면 간단히 $2x$가 됩니다.
- **두 번째 항 ($y \ln x$):** 이 항은 $y$와 $\ln x$라는 두 함수의 곱으로 이루어져 있으므로 곱의 미분법을 써야 합니다.
$$\frac{d}{dx}(y \ln x) = \left(\frac{dy}{dx}\right) \ln x + y \left(\frac{1}{x}\right)$$
- **세 번째 항 ($x$):** $x$에 대해 미분하면 $1$이 됩니다.
- **우변 ($e$):** $e$는 상수이므로 미분하면 $0$이 됩니다.
이제 이 미분한 값들을 원래 식에 대입하여 정리해 봅시다.
$$2x - \left( \frac{dy}{dx} \ln x + \frac{y}{x} \right) + 1 = 0$$
괄호를 풀면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.
$$2x - \frac{dy}{dx} \ln x - \frac{y}{x} + 1 = 0$$
2단계: 주어진 점의 좌표 대입하기
우리가 구하고자 하는 것은 점 $(e, e^2)$에서의 접선의 기울기, 즉 $x = e$, $y = e^2$일 때의 $\frac{dy}{dx}$ 값입니다.
위에서 구한 미분 방정식에 $x = e$, $y = e^2$을 대입해 봅시다.
$$2(e) - \frac{dy}{dx} \ln(e) - \frac{e^2}{e} + 1 = 0$$
여기서 우리가 알고 있는 로그의 성질과 약분을 적용합니다.
- $\ln(e) = 1$
- $\frac{e^2}{e} = e$
이 값들을 대입하여 식을 정리하면 다음과 같습니다.
$$2e - \frac{dy}{dx}(1) - e + 1 = 0$$
3단계: 접선의 기울기 $\frac{dy}{dx}$ 구하기
위 식을 동류항끼리 계산하여 정리해 봅시다.
$$(2e - e) - \frac{dy}{dx} + 1 = 0$$
$$e - \frac{dy}{dx} + 1 = 0$$
우리가 구하려는 $\frac{dy}{dx}$에 대해 식을 정리하면 다음과 같습니다.
$$\frac{dy}{dx} = e + 1$$
따라서 점 $(e, e^2)$에서의 접선의 기울기는 $e + 1$입니다.
답
**① $e+1$**
확인해보기
오늘 배운 음함수의 미분법을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
> 질문:
> 곡선 $x^2 + y^2 = 5$ 위의 점 $(1, 2)$에서의 접선의 기울기는 얼마일까요? 음함수의 미분법을 이용하여 직접 구해보세요. (답은 스스로 구해보며 풀이 과정을 점검해보세요!)