어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수의 역함수의 미분계수를 구하는 문제입니다. 역함수를 직접 구하기는 매우 어렵거나 불가능한 경우가 많기 때문에, 원래 함수와 역함수 사이의 특별한 관계를 이용해야 합니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 정리해 두어야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 역함수의 성질: $f(a) = b$ 이면 $g(b) = a$ 입니다. (단, $g(x)$는 $f(x)$의 역함수)
- 역함수의 미분법: 두 함수가 서로 역함수 관계일 때, 다음 공식이 성립합니다.
$$g'(b) = \frac{1}{f'(a)} \quad (\text{단, } f(a) = b)$$
이 개념들을 가지고 단계별로 차근차근 풀어봅시다!
단계별 풀이
1단계: $g(3)$의 값 구하기
우리가 구하고자 하는 것은 $g'(3)$입니다. 역함수의 미분 공식에 의하면 다음과 같은 관계가 성립합니다.
$$g'(3) = \frac{1}{f'(g(3))}$$
이 공식을 쓰려면 먼저 $g(3)$이 무엇인지 알아야 합니다.
$g(3) = a$라고 놓아봅시다. 역함수의 성질에 의해 이는 **$f(a) = 3$**과 같은 뜻입니다.
이제 $f(x) = x^3 + 2x + 3$에 $x = a$를 대입하여 $a$ 값을 구해봅시다.
$$a^3 + 2a + 3 = 3$$
양변에서 $3$을 빼면,
$$a^3 + 2a = 0$$
$$a(a^2 + 2) = 0$$
여기서 $a$는 실수이므로 $a^2 + 2 > 0$입니다. 따라서 만족하는 실수는 오직 하나뿐입니다.
$$a = 0$$
즉, $g(3) = 0$임을 알게 되었습니다!
2단계: 원래 함수 $f(x)$ 미분하기
이제 공식의 분모에 들어갈 $f'(g(3))$, 즉 $f'(0)$을 구해야 합니다. 이를 위해 먼저 함수 $f(x)$를 미분해 봅시다.
$$f(x) = x^3 + 2x + 3$$
$$f'(x) = 3x^2 + 2$$
3단계: $f'(0)$ 구하고 최종 답 도출하기
미분한 함수 $f'(x)$에 $x = 0$을 대입합니다.
$$f'(0) = 3(0)^2 + 2 = 2$$
이제 역함수의 미분 공식을 적용해 마무리합니다.
$$g'(3) = \frac{1}{f'(g(3))} = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{2}$$
답
**② $\frac{1}{2}$**
확인해보기
오늘 배운 역함수의 미분법을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 문제를 직접 풀어보세요.
> 질문: 함수 $f(x) = x^3 + x$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, $g'(2)$의 값은 얼마일까요? (힌트: 먼저 $f(a) = 2$가 되는 $a$를 찾아보세요!)