반갑습니다! 오늘도 즐겁게 수학 문제를 해결해 봅시다. 이 문제는 수능과 모의고사에서 자주 출제되는 '도형과 무한등비급수' 유형입니다. 복잡해 보이지만, 단계별로 차근차근 풀어가면 충분히 스스로 해결할 수 있습니다. 선생님과 함께 시작해 볼까요?
어떤 문제인가
이 문제는 매 단계마다 일정한 비율로 작아지는 도형들을 무한히 더해나갈 때, 그 넓이의 합($\lim_{n \to \infty} S_n$)을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 무한등비급수의 합 공식: 첫째항을 $a$, 공비를 $r$이라 할 때, 합은 $S = \frac{a}{1-r}$입니다. 즉, **첫 번째 도형의 넓이($a$)와 닮음비(이를 통해 공비 $r$을 구함)**만 찾아내면 끝납니다!
- 코사인법칙: 삼각형에서 세 변과 한 각 사이의 관계를 알 때 사용합니다.
- 원에 내접하는 사각형의 성질: 마주 보는 대각의 합은 $180^\circ$($\pi$)이며, 평행한 두 현이 있을 때 만들어지는 사다리꼴은 항상 등변사다리꼴이 됩니다.
단계별 풀이
1단계: 삼각형 $\text{A}_1\text{A}_2\text{B}_1$에서 변 $\text{A}_1\text{A}_2$의 길이 구하기
첫 번째 도형의 넓이를 구하기 위해, 먼저 삼각형 $\text{A}_1\text{A}_2\text{B}_1$의 세 변의 길이를 모두 알아야 합니다.
문제에서 $\overline{\text{A}_1\text{B}_1} = 2$, $\overline{\text{B}_1\text{A}_2} = 3$, $\angle\text{A}_1\text{B}_1\text{A}_2 = 60^\circ$라고 주어졌습니다.
삼각형 $\text{A}_1\text{A}_2\text{B}_1$에서 코사인법칙을 적용해 봅시다.
$$\overline{\text{A}_1\text{A}_2}^2 = \overline{\text{A}_1\text{B}_1}^2 + \overline{\text{B}_1\text{A}_2}^2 - 2 \cdot \overline{\text{A}_1\text{B}_1} \cdot \overline{\text{B}_1\text{A}_2} \cdot \cos(60^\circ)$$
값을 대입하면,
$$\overline{\text{A}_1\text{A}_2}^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}$$
$$\overline{\text{A}_1\text{A}_2}^2 = 4 + 9 - 6 = 7$$
따라서, $\overline{\text{A}_1\text{A}_2} = \sqrt{7}$입니다.
2단계: 평행선과 원의 성질을 이용하여 $\overline{\text{A}_2\text{B}_2}$의 길이 구하기
점 $\text{A}_2$를 지나고 $\text{A}_1\text{B}_1$에 평행한 직선이 원과 만나는 점이 $\text{B}_2$이므로, $\text{A}_1\text{B}_1 \parallel \text{A}_2\text{B}_2$입니다.
원에 내접하면서 한 쌍의 대변이 평행한 사각형 $\text{A}_1\text{B}_1\text{B}_2\text{A}_2$는 등변사다리꼴이 됩니다.
등변사다리꼴의 성질에 의해 다음이 성립합니다:
- 두 옆변의 길이가 같습니다: $\overline{\text{B}_1\text{B}_2} = \overline{\text{A}_1\text{A}_2} = \sqrt{7}$
- 두 대각선의 길이가 같습니다: $\overline{\text{A}_1\text{B}_2} = \overline{\text{B}_1\text{A}_2} = 3$
이제 $\overline{\text{A}_2\text{B}_2}$의 길이를 구하기 위해, 삼각형 $\text{B}_1\text{A}_1\text{A}_2$에서 $\angle\text{B}_1\text{A}_1\text{A}_2$에 대한 코사인 값을 먼저 구합니다. 코사인법칙을 쓰면,
$$\overline{\text{B}_1\text{A}_2}^2 = \overline{\text{A}_1\text{B}_1}^2 + \overline{\text{A}_1\text{A}_2}^2 - 2 \cdot \overline{\text{A}_1\text{B}_1} \cdot \overline{\text{A}_1\text{A}_2} \cdot \cos(\angle\text{B}_1\text{A}_1\text{A}_2)$$
$$3^2 = 2^2 + (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \cos(\angle\text{B}_1\text{A}_1\text{A}_2)$$
$$9 = 4 + 7 - 4\sqrt{7}\cos(\angle\text{B}_1\text{A}_1\text{A}_2)$$
$$4\sqrt{7}\cos(\angle\text{B}_1\text{A}_1\text{A}_2) = 2 \implies \cos(\angle\text{B}_1\text{A}_1\text{A}_2) = \frac{1}{2\sqrt{7}}$$
평행선에서 동측내각의 합은 $180^\circ$이므로, $\angle\text{A}_1\text{A}_2\text{B}_2 = 180^\circ - \angle\text{B}_1\text{A}_1\text{A}_2$입니다.
따라서, $\cos(\angle\text{A}_1\text{A}_2\text{B}_2) = -\cos(\angle\text{B}_1\text{A}_1\text{A}_2) = -\frac{1}{2\sqrt{7}}$이 됩니다.
이제 삼각형 $\text{A}_1\text{A}_2\text{B}_2$에서 $\overline{\text{A}_2\text{B}_2} = x$라 두고 코사인법칙을 적용해 봅시다.
$$\overline{\text{A}_1\text{B}_2}^2 = \overline{\text{A}_1\text{A}_2}^2 + \overline{\text{A}_2\text{B}_2}^2 - 2 \cdot \overline{\text{A}_1\text{A}_2} \cdot \overline{\text{A}_2\text{B}_2} \cdot \cos(\angle\text{A}_1\text{A}_2\text{B}_2)$$
$$3^2 = (\sqrt{7})^2 + x^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot x \cdot \left(-\frac{1}{2\sqrt{7}}\right)$$
$$9 = 7 + x^2 + x \implies x^2 + x - 2 = 0$$
$$(x+2)(x-1) = 0$$
길이 $x$는 양수여야 하므로, $\overline{\text{A}_2\text{B}_2} = 1$입니다.
3단계: 첫 번째 색칠된 도형의 넓이 $S_1$ 구하기
색칠된 나비넥타이 모양($\bowtie$)은 삼각형 $\text{A}_1\text{A}_2\text{C}_1$과 삼각형 $\text{B}_1\text{C}_1\text{B}_2$의 합입니다.
$\text{A}_1\text{B}_1 \parallel \text{A}_2\text{B}_2$이므로, $\triangle\text{A}_1\text{B}_1\text{C}_1$과 $\triangle\text{B}_2\text{A}_2\text{C}_1$은 서로 닮음입니다.
닮음비는 밑변의 길이비인 $\overline{\text{A}_1\text{B}_1} : \overline{\text{A}_2\text{B}_2} = 2 : 1$입니다.
따라서 대각선의 길이비도 $2:1$이 되므로, 점 $\text{C}_1$은 선분 $\text{B}_1\text{A}_2$를 $2:1$로 내분합니다.
$$\overline{\text{B}_1\text{C}_1} : \overline{\text{C}_1\text{A}_2} = 2 : 1$$
전체 삼각형 $\text{A}_1\text{A}_2\text{B}_1$의 넓이를 먼저 구해봅시다.
$$\text{Area}(\triangle\text{A}_1\text{A}_2\text{B}_1) = \frac{1}{2} \cdot \overline{\text{A}_1\text{B}_1} \cdot \overline{\text{B}_1\text{A}_2} \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$
삼각형 $\text{A}_1\text{A}_2\text{C}_1$은 높이가 같고 밑변의 비가 $1:3$이므로,
$$\text{Area}(\triangle\text{A}_1\text{A}_2\text{C}_1) = \frac{1}{3} \text{Area}(\triangle\text{A}_1\text{A}_2\text{B}_1) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
사다리꼴에서 대각선으로 나뉜 양옆의 삼각형 넓이는 서로 같습니다. 즉, $\text{Area}(\triangle\text{B}_1\text{C}_1\text{B}_2) = \text{Area}(\triangle\text{A}_1\text{A}_2\text{C}_1) = \frac{\sqrt{3}}{2}$입니다.
따라서 첫 번째 도형의 넓이 $S_1$은 다음과 같습니다.
$$S_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$
4단계: 닮음비와 공비 $r$ 구하기
두 번째 단계에서 그려지는 원 $O_2$는 삼각형 $\text{A}_2\text{A}_3\text{B}_2$의 외접원입니다.
이때 $\text{B}_2\text{A}_3 \parallel \text{B}_1\text{A}_2$이고 $\text{A}_1\text{B}_1 \parallel \text{A}_2\text{B}_2$이므로, 동위각의 크기가 같아 **삼각형 $\text{A}_1\text{B}_1\text{A}_2$와 삼각형 $\text{A}_2\text{B}_2\text{A}_3$은 서로 닮음**입니다.
두 삼각형의 닮음비는 대응하는 변인 $\overline{\text{A}_1\text{B}_1}$과 $\overline{\text{A}_2\text{B}_2}$의 길이비와 같습니다.
$$\text{닮음비} = \frac{\overline{\text{A}_2\text{B}_2}}{\overline{\text{A}_1\text{B}_1}} = \frac{1}{2}$$
넓이의 비(공비 $r$)는 닮음비의 제곱이므로,
$$r = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$
5단계: 무한등비급수 계산하기
이제 공식에 대입하여 최종 넓이의 극한값을 구합니다.
$$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{S_1}{1-r} = \frac{\sqrt{3}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{3}{4}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$
답
정답은 ②입니다.
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
> 질문: 본문에서 "원에 내접하는 사다리꼴 $\text{A}_1\text{B}_1\text{B}_2\text{A}_2$는 항상 등변사다리꼴이 된다"고 했습니다. 원주각과 호의 성질을 이용하여, 왜 평행한 두 현을 윗변과 아랫변으로 하는 내접사다리꼴이 항상 등변사다리꼴(양 옆변의 길이가 같은 사다리꼴)이 되는지 설명해 보세요.