어떤 문제인가
이 문제는 급수의 수렴 조건과 등차수열의 일반항, 그리고 부분분수(또는 소거형) 급수의 합을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 떠올려야 할 핵심 개념은 다음 3가지입니다.
- 급수의 수렴과 극한의 관계: 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n$이 수렴하면, 일반항의 극한값은 $0$입니다. 즉, $\lim_{n\to\infty} x_n = 0$입니다.
- 등차수열의 일반항: 첫째항이 $a_1$, 공차가 $d$인 등차수열의 일반항은 $a_n = a_1 + (n-1)d$입니다.
- 망원급수(Telescoping Series): 이웃한 항들이 서로 지워지면서 간단하게 합이 구해지는 형태를 이용합니다.
단계별 풀이
1단계: 급수가 수렴할 조건을 이용하여 등차수열 $\{a_n\}$의 공차 구하기
급수 $\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{a_n}{n} - \frac{3n+7}{n+2} \right)$이 실수 $S$에 수렴한다고 했습니다. 급수가 수렴하므로, 안쪽에 있는 일반항의 극한값은 $0$이 되어야 합니다.
$$\lim_{n\to\infty} \left( \frac{a_n}{n} - \frac{3n+7}{n+2} \right) = 0$$
이 식을 정리하면 다음과 같습니다.
$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{3n+7}{n+2}$$
우변의 극한값은 분모, 분자를 $n$으로 나누면 $3$이 됨을 쉽게 알 수 있습니다.
$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{n} = 3$$
이제 첫째항이 $4$이고 공차가 $d$인 등차수열 $a_n = 4 + (n-1)d$를 대입해 봅시다.
$$\lim_{n\to\infty} \frac{dn + (4-d)}{n} = d$$
따라서 공차 $d = 3$이 됩니다.
이로부터 등차수열의 일반항 $a_n$을 완벽하게 구할 수 있습니다.
$$a_n = 4 + (n-1)\cdot 3 = 3n + 1$$
2단계: 급수의 일반항을 간단하게 변형하기
구한 $a_n = 3n+1$을 원래 급수 식에 대입하여 일반항을 정리해 봅시다.
$$\frac{a_n}{n} - \frac{3n+7}{n+2} = \frac{3n+1}{n} - \frac{3n+7}{n+2}$$
각 분수를 대분수 형태로 쪼개어 상수를 분리해 주면 계산이 훨씬 쉬워집니다.
- 첫 번째 항: $\frac{3n+1}{n} = 3 + \frac{1}{n}$
- 두 번째 항: $\frac{3n+7}{n+2} = \frac{3(n+2)+1}{n+2} = 3 + \frac{1}{n+2}$
이제 두 식을 빼 볼까요?
$$\left( 3 + \frac{1}{n} \right) - \left( 3 + \frac{1}{n+2} \right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}$$
아주 깔끔하게 정리되었네요! 우리가 구해야 할 급수는 다음과 같이 바뀝니다.
$$S = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right)$$
3단계: 부분합의 극한을 이용하여 급수의 합 $S$ 구하기
무한급수의 합은 **부분합 $S_k$의 극한값**으로 구합니다. 먼저 $1$항부터 $k$항까지의 합 $S_k$를 써봅시다.
$$S_k = \sum_{n=1}^{k} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right)$$
나열해서 더해볼까요?
- $n=1$ 일 때: $\left( 1 - \frac{1}{3} \right)$
- $n=2$ 일 때: $\left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right)$
- $n=3$ 일 때: $\left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right)$
- $n=4$ 일 때: $\left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right)$
- ...
- $n=k-1$ 일 때: $\left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k+1} \right)$
- $n=k$ 일 때: $\left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right)$
이 식들을 모두 더하면, 건너뛰면서 서로 지워지는 규칙이 보입니다.
$-\frac{1}{3}$과 $+\frac{1}{3}$이 지워지고, $-\frac{1}{4}$과 $+\frac{1}{4}$이 지워집니다.
이런 식으로 지우고 남는 항들을 정리하면 앞부분에 2개, 뒷부분에 2개가 남습니다.
$$S_k = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2}$$
이제 마지막으로 $k$를 무한대($\infty$)로 보내어 극한값을 구합니다.
$$S = \lim_{k\to\infty} S_k = \lim_{k\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2} \right)$$
$k \to \infty$일 때 $\frac{1}{k+1} \to 0$, $\frac{1}{k+2} \to 0$이 되므로,
$$S = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$
답
**③ $\frac{3}{2}$**
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요.
> 질문: 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$이 수렴할 때, 극한값 $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$인 것은 참입니다. 그렇다면 역으로 **"$\lim_{n\to\infty} a_n = 0$이면 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$은 항상 수렴한다"**라는 명제는 참일까요, 거짓일까요? (힌트: 대표적인 반례인 조화급수 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$을 생각해 보세요.)