반갑습니다! 수학과 물리를 가르치는 선생님입니다. 오늘 함께 풀어볼 문제는 미적분에서 자주 출제되는 함수의 연속성과 극대·극소, 그리고 삼차함수의 그래프 개형을 융합한 아주 좋은 문제입니다.
겉보기에는 복잡해 보이지만, 조건들을 하나씩 해석해 나가면 실타래가 풀리듯 재미있게 해결할 수 있습니다. 선생님과 함께 한 단계씩 차근차근 알아봅시다!
어떤 문제인가
이 문제는 주어진 조건들을 만족하는 삼차함수 $f(x)$를 찾아내고, 이를 통해 정의된 새로운 함수 $g(x)$의 극솟값을 구하는 문제입니다. 문제를 풀기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 로그함수의 연속성: $\ln |f(x)|$가 불연속이 되는 지점은 진수 조건에 의해 $f(x) = 0$이 되는 지점뿐입니다.
- 절댓값 함수의 극대·극소: 어떤 함수 $h(x)$와 그 절댓값 함수 $|h(x)|$의 극대·극소 관계를 통해 함수의 함숫값 범위를 추론할 수 있습니다.
- 삼차함수의 그래프 개형과 실근의 개수: 삼차함수의 극댓값, 극솟값의 위치에 따라 방정식의 실근의 개수가 어떻게 결정되는지 이해해야 합니다.
단계별 풀이
1단계: 조건 (가)를 통해 $f(x) = 0$의 근 구하기
함수 $g(x)$는 $f(x) \neq 0$일 때 $\ln |f(x)|$이고, $f(x) = 0$일 때는 $1$입니다.
$f(x)$는 삼차함수이므로 모든 실수에서 연속입니다. 따라서 합성함수 $\ln |f(x)|$가 불연속이 될 수 있는 유일한 후보는 진수가 $0$이 되는 곳, 즉 $f(x) = 0$인 지점입니다.
$f(x) \to 0$일 때 $\ln |f(x)| \to -\infty$가 되므로, $f(x)=0$인 지점에서는 무조건 불연속이 됩니다.
조건 (가)에서 $g(x)$는 $x \neq 1$인 모든 실수에서 연속이라고 했습니다. 즉, **$x=1$에서만 불연속**이라는 뜻입니다.
따라서 $f(x) = 0$을 만족하는 실근은 오직 $x=1$ 하나뿐입니다.
$$f(1) = 0 \quad \text{이고, } x \neq 1 \text{일 때 } f(x) \neq 0$$
2단계: 조건 (나)를 통해 $x=2$에서의 상황 분석하기
조건 (나)에서 $g(x)$는 $x=2$에서 극대이고, $|g(x)|$는 $x=2$에서 극소라고 했습니다.
먼저, $x=2$는 $1$이 아니므로 $f(2) \neq 0$입니다. 따라서 $x=2$ 주변에서 $g(x) = \ln |f(x)|$는 미분가능합니다.
$g(x)$가 $x=2$에서 극값을 가지므로 미분계수는 $0$이어야 합니다.
$$g'(2) = \frac{f'(2)}{f(2)} = 0 \implies f'(2) = 0$$
또한, 최고차항의 계수가 양수($\frac{1}{2}$)이고 $f(1)=0$이며 $x>1$에서 $f(x) \neq 0$이므로, $x>1$ 영역에서 $f(x)$는 항상 양수여야 합니다. (만약 음수라면 사잇값 정리에 의해 $1$보다 큰 실근이 또 존재해야 하므로 모순입니다.)
따라서 $f(2) > 0$이고, $x=2$ 근처에서 $g(x) = \ln f(x)$입니다.
이제 극대·극소 조건을 비교해 봅시다.
- $g(x)$가 $x=2$에서 극대이므로, $g(2)$ 주변의 값들은 $g(2)$보다 작거나 같습니다.
- 그런데 $|g(x)|$는 $x=2$에서 극소가 되어야 합니다.
만약 $g(2) > 0$이라면, $x=2$ 근처에서 $g(x)$가 양수이므로 $|g(x)| = g(x)$가 되어 $|g(x)|$도 극대가 되어야 하므로 모순입니다.
따라서 이 조건이 성립하려면 반드시 **$g(2) \le 0$**이어야 합니다.
$$g(2) = \ln f(2) \le 0 \implies f(2) \le 1$$
3단계: 조건 (다)를 통해 $f(2)$의 값 확정하기
조건 (다)에서 방정식 $g(x) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $3$이라고 했습니다.
$g(1) = 1 \neq 0$이므로, $g(x) = 0$이 되는 지점은 $x \neq 1$인 영역에 있습니다.
$$g(x) = 0 \iff \ln |f(x)| = 0 \iff |f(x)| = 1 \iff f(x) = 1 \text{ 또는 } f(x) = -1$$
삼차함수 $f(x)$의 그래프를 그려봅시다.
- $f(1) = 0$이고, $x < 1$에서는 $f(x) < 0$, $x > 1$에서는 $f(x) > 0$입니다.
- $f'(2) = 0$이므로 $x=2$에서 극대입니다. (최고차항이 양수이므로 왼쪽 극값이 극대, 오른쪽 극값이 극소입니다.)
- $x < 1$ 영역에서 $f(x)$는 음수에서 $0$으로 증가하므로, $f(x) = -1$을 만족하는 실근은 $x < 1$ 영역에서 오직 1개 존재합니다.
전체 실근의 개수가 $3$개가 되려면, $f(x) = 1$을 만족하는 실근이 정확히 2개 존재해야 합니다.
삼차함수에서 어떤 상수 함수와의 교점이 2개가 되려면, 그 상수 함수가 극댓값 또는 극솟값과 접해야 합니다.
- $x=2$에서의 극댓값이 $1$이거나 ($f(2) = 1$)
- $x = \alpha$ ($\alpha > 2$)에서의 극솟값이 $1$이어야 합니다 ($f(\alpha) = 1$).
하지만 2단계에서 우리는 $f(2) \le 1$이어야 함을 밝혔습니다.
만약 극솟값 $f(\alpha) = 1$이라면 극댓값 $f(2)$는 $1$보다 커야 하므로 ($f(2) > f(\alpha) = 1$) 모순이 생깁니다.
따라서 반드시 **$f(2) = 1$**이어야 합니다.
4단계: 삼차함수 $f(x)$ 구하기
우리가 알아낸 $f(x)$의 정보는 다음과 같습니다.
- 최고차항의 계수는 $\frac{1}{2}$
- $f(1) = 0$
- $f(2) = 1$
- $f'(2) = 0$ (즉, $x=2$에서 극대)
$f'(2) = 0$이므로, 또 다른 극값을 갖는 x좌표를 $\alpha$라고 하면 도함수를 다음과 같이 세울 수 있습니다.
$$f'(x) = \frac{3}{2}(x-2)(x-\alpha) = \frac{3}{2}x^2 - \frac{3}{2}(2+\alpha)x + 3\alpha$$
이를 적분하면,
$$f(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{4}(2+\alpha)x^2 + 3\alpha x + C$$
여기에 $f(2) = 1$을 대입해 봅시다.
$$f(2) = 4 - 3(2+\alpha) + 6\alpha + C = 1 \implies 3\alpha + C = 3 \implies C = 3 - 3\alpha$$
이제 $f(1) = 0$을 대입하여 $\alpha$를 구합니다.
$$f(1) = \frac{1}{2} - \frac{3}{4}(2+\alpha) + 3\alpha + (3 - 3\alpha) = 0$$
양변에 $4$를 곱해 정리하면,
$$2 - 3(2+\alpha) + 12\alpha + 12 - 12\alpha = 0$$
$$2 - 6 - 3\alpha + 12 = 0 \implies 3\alpha = 8 \implies \alpha = \frac{8}{3}$$
따라서 극소가 되는 지점은 $x = \frac{8}{3}$이고, 이때 $C = 3 - 8 = -5$입니다.
이를 대입해 $f(x)$를 완성하면 다음과 같습니다.
$$f(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 8x - 5$$
5단계: $g(x)$의 극솟값 구하기
$g(x) = \ln f(x)$ (단, $x>1$)의 극솟값은 $f(x)$가 극소가 되는 지점인 $x = \frac{8}{3}$에서 가집니다.
$f\left(\frac{8}{3}\right)$의 값을 계산해 봅시다.
$$f\left(\frac{8}{3}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{8}{3}\right)^3 - \frac{7}{2}\left(\frac{8}{3}\right)^2 + 8\left(\frac{8}{3}\right) - 5$$
$$= \frac{256}{27} - \frac{224}{9} + \frac{64}{3} - 5$$
분모를 $27$로 통분하여 계산하면,
$$= \frac{256 - 672 + 576 - 135}{27} = \frac{25}{27}$$
따라서 구하고자 하는 $g(x)$의 극솟값은 다음과 같습니다.
$$g\left(\frac{8}{3}\right) = \ln f\left(\frac{8}{3}\right) = \ln \frac{25}{27}$$
답
정답은 ⑤번인 **$\ln \frac{25}{27}$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
질문: 만약 조건 (나)에서 "$|g(x)|$는 $x=2$에서 극대이다"라고 조건이 바뀌었다면, 극댓값 $f(2)$의 범위는 어떻게 변했을까요? (힌트: 2단계의 부등호 방향을 생각해보세요!)