어떤 문제인가
이 문제는 주어진 도형에서 각도 $\theta$가 $0$에 한없이 가까워질 때, 두 삼각형의 넓이의 비에 대한 극한값을 구하는 삼각함수의 극한 도형 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 것입니다:
- 직각삼각형에서의 삼각비: 변의 길이와 각도 사이의 관계를 식으로 나타냅니다.
- 삼각형의 각의 이등분선 성질: 각의 이등분선이 대변을 나누는 길이의 비($a:b = c:d$)를 이용합니다.
- 삼각함수의 극한 기본 공식: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$을 활용하여 복잡한 식을 단순화합니다.
단계별 풀이
1단계: 기본 각도와 선분의 길이 표현하기
먼저, 주어진 조건들을 이용해 필요한 각도와 선분의 길이를 $\theta$로 나타내 봅시다.
- **$\angle AOP$ 구하기**:
점 $P$에서 $OA$에 내린 수선의 발이 $H$이므로, $\triangle OHP$는 $\angle OHP = \frac{\pi}{2}$인 직각삼각형입니다.
부채꼴의 반지름 $OP = 1$이므로, $\angle AOP = \alpha$라고 하면:
$$OH = \cos\alpha, \quad HP = \sin\alpha$$
선분 $OA = 1$이므로, $AH = OA - OH = 1 - \cos\alpha$입니다.
이제 직각삼각형 $\triangle AHP$에서 $\angle APH = \theta$이므로:
$$\tan\theta = \frac{AH}{HP} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$$
반각 공식(또는 배각 공식)에 의해 $\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} = \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$가 성립합니다.
따라서 $\theta = \frac{\alpha}{2}$가 되므로, **$\angle AOP = 2\theta$**임을 알 수 있습니다.
- **선분 $AH$와 $AP$ 구하기**:
$\angle AOP = 2\theta$이므로:
$$AH = 1 - \cos(2\theta) = 2\sin^2\theta$$
$$HP = \sin(2\theta)$$
직각삼각형 $\triangle AHP$에서:
$$AP = \frac{AH}{\sin\theta} = \frac{2\sin^2\theta}{\sin\theta} = 2\sin\theta$$
2단계: 삼각형 $\text{AQH}$의 넓이 $f(\theta)$ 구하기
$f(\theta)$는 직각삼각형 $\triangle AQH$의 넓이입니다.
- **$\angle HAQ$ 구하기**:
$\triangle AHP$에서 $\angle AHP = \frac{\pi}{2}$, $\angle APH = \theta$이므로 $\angle HAP = \frac{\pi}{2} - \theta$입니다.
선분 $AS$는 $\angle OAP$ (즉, $\angle HAP$)의 이등분선이므로:
$$\angle HAQ = \frac{1}{2}\angle HAP = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}$$
- **$HQ$와 $f(\theta)$ 구하기**:
직각삼각형 $\triangle AQH$에서:
$$HQ = AH \times \tan(\angle HAQ) = 2\sin^2\theta \tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right)$$
따라서 삼각형 $\triangle AQH$의 넓이 $f(\theta)$는 다음과 같습니다:
$$f(\theta) = \frac{1}{2} \times AH \times HQ = \frac{1}{2} \times 2\sin^2\theta \times 2\sin^2\theta \tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right)$$
$$f(\theta) = 2\sin^4\theta \tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right)$$
3단계: 삼각형 $\text{PSR}$의 넓이 $g(\theta)$ 구하기
$\triangle PSR$의 넓이를 직접 구하기보다, 전체 삼각형 $\triangle OPS$의 넓이와 선분의 길이 비를 이용하면 훨씬 쉽게 구할 수 있습니다. 점 $O, R, P$는 일직선 위에 있으므로, 두 삼각형 $\triangle PSR$과 $\triangle OSR$은 높이를 공유합니다.
- **각의 이등분선 성질로 $RP$ 구하기**:
$\triangle OAP$에서 선분 $AR$은 $\angle OAP$의 이등분선입니다. 따라서 다음 비가 성립합니다:
$$OR : RP = OA : AP = 1 : 2\sin\theta$$
전체 길이 $OP = 1$이므로, 선분 $RP$의 길이는 다음과 같습니다:
$$RP = \frac{2\sin\theta}{1 + 2\sin\theta}$$
- **선분 $OS$ 구하기**:
직각삼각형 $\triangle OAS$에서 $\angle AOS = \frac{\pi}{2}$이고, $\angle OAS = \angle HAQ = \frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}$입니다.
$$OS = OA \times \tan(\angle OAS) = 1 \times \tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right)$$
- **$\triangle OPS$의 넓이와 $g(\theta)$ 구하기**:
$\triangle OPS$에서 두 변 $OP, OS$와 그 끼인각 $\angle POS = \frac{\pi}{2} - 2\theta$를 이용해 넓이를 구합니다:
$$\text{Area}(\triangle OPS) = \frac{1}{2} \times OP \times OS \times \sin(\angle POS)$$
$$\text{Area}(\triangle OPS) = \frac{1}{2} \times 1 \times \tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right) \times \sin\left(\frac{\pi}{2} - 2\theta\right) = \frac{1}{2} \tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right) \cos(2\theta)$$
이제 높이가 같은 두 삼각형의 넓이 비는 밑변의 길이 비와 같으므로:
$$g(\theta) = \text{Area}(\triangle PSR) = \frac{RP}{OP} \times \text{Area}(\triangle OPS)$$
$OP = 1$이므로 이를 대입하면:
$$g(\theta) = \frac{2\sin\theta}{1 + 2\sin\theta} \times \frac{1}{2} \tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right) \cos(2\theta) = \frac{\sin\theta}{1 + 2\sin\theta} \tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right) \cos(2\theta)$$
4단계: 극한값 $k$ 계산하기
이제 구한 $f(\theta)$와 $g(\theta)$를 극한 식에 대입해 봅시다.
$$ \lim_{\theta \to 0+} \frac{\theta^3 \times g(\theta)}{f(\theta)} = \lim_{\theta \to 0+} \frac{\theta^3 \times \frac{\sin\theta}{1 + 2\sin\theta} \tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right) \cos(2\theta)}{2\sin^4\theta \tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right)} $$
공통인수 $\tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right)$를 약분하고 식을 정리하면:
$$ = \lim_{\theta \to 0+} \frac{\theta^3 \sin\theta \cos(2\theta)}{2\sin^4\theta (1 + 2\sin\theta)} $$
$$ = \lim_{\theta \to 0+} \left( \frac{\theta^3}{2\sin^3\theta} \times \frac{\cos(2\theta)}{1 + 2\sin\theta} \right) $$
여기서 $\lim_{\theta \to 0+} \frac{\theta}{\sin\theta} = 1$이므로, $\lim_{\theta \to 0+} \frac{\theta^3}{\sin^3\theta} = 1$입니다.
또한, $\theta \to 0$일 때 $\cos(2\theta) \to 1$, $1 + 2\sin\theta \to 1$이므로:
$$ k = \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{1}{1} = \frac{1}{2} $$
우리가 구하고자 하는 값은 $100k$이므로:
$$ 100k = 100 \times \frac{1}{2} = 50 $$
답
$$50$$
확인해보기
3단계 풀이에서 삼각형 $\triangle PSR$의 넓이 $g(\theta)$를 구할 때, 왜 전체 삼각형 $\triangle OPS$의 넓이에 $\frac{RP}{OP}$를 곱해서 구할 수 있었을까요? 두 삼각형의 어떤 기하학적 공통점 때문인지 스스로 생각해 보세요!