어떤 문제인가
곡선 위의 점에서 그은 접선이 곡선과 몇 번 만나는지를 세는 문제예요. 접점도 교점에 포함하며, 한 점에서만 개수가 달라지는 경우와 좌우의 개수가 달라지는 경우를 구별해야 합니다.
단계별 풀이
1단계: 도함수와 이계도함수로 개형을 살펴봐요
$$f'(x)=(-x^2+(a+2)x-a)e^{-x},\qquad f''(x)=(x^2-(a+4)x+2a+2)e^{-x}.$$
$f'$의 두 근을 $u<v$, $f''$의 두 근을 $r<s$라 하면
$$u<r<v<s,\qquad u+v=a+2$$
입니다. $f'$는 $r$까지 증가, $r$부터 $s$까지 감소, $s$ 이후 증가하고, 오른쪽 끝에서는 $0$으로 수렴해요. 또 $f(u)<0$, $f(v)>0$이고 $f$는 왼쪽 끝에서 $+\infty$, 오른쪽 끝에서 $0$으로 갑니다.
2단계: 접점의 위치에 따라 교점 수를 세어요
접선과 곡선의 차를
$$H_t(x)=f(x)-f'(t)(x-t)-f(t)$$
라 하면 $H_t(t)=0$이고 $H_t'(x)=f'(x)-f'(t)$입니다. 따라서 $f'$의 그래프에 수평선을 그어 $H_t$의 증감을 확인할 수 있어요.
| 접점 $t$의 범위 | $g(t)$ |
|---|---|
| $t\le u$ | $1$ |
| $u<t<v$, $t\ne r$ | $2$ |
| $t=r$ | $1$ |
| $t=v$ | $2$ |
| $t>v$, $t\ne s$ | $3$ |
| $t=s$ | $2$ |
이 표의 근거를 조금 더 살펴볼게요.
- $t\le u$: 접선은 곡선 아래에 있어 접점만 만나요. $t<u$에서 접선의 절편은 $t^2(t-a-1)e^{-t}\le0$이고 기울기는 음수예요. $x\ge a$에서는 접선이 $0$ 이하, 곡선이 $0$ 이상입니다. 나머지 부분은 왼쪽의 볼록한 구간과 $u$ 이후 증가하는 구간에서 접선보다 위에 있음을 확인할 수 있어요. $t=u$는 전역 최솟값 높이의 수평접선입니다.
- $u<t<v$: 접선 기울기가 양수이므로 $H_t$는 왼쪽 끝에서 $+\infty$, 오른쪽 끝에서 $-\infty$로 갑니다. $f'(x)=f'(t)$의 두 근을 기준으로 $H_t'$의 부호가 음수, 양수, 음수로 바뀌므로 접점 외 교점이 하나 있어요. $t=r$에서는 두 임계점이 합쳐져 $H_t$가 감소하고, 접점만 남습니다.
- $t=v$: 높이가 $f(v)>0$인 수평선은 왼쪽 감소 구간에서 한 번, $v$에서 한 번 만나요.
- $t>v$: 접선의 절편 $B(t)=t^2(t-a-1)e^{-t}$는 양수입니다. 같은 기울기를 갖는 왼쪽 접점 $\ell<u$의 절편은 $B(\ell)\le0$이므로 $H_t(\ell)=B(\ell)-B(t)<0$예요. 따라서 왼쪽에는 교점이 정확히 하나 있습니다. 오른쪽에서는 $f'$가 $v$에서 $s$까지 감소한 뒤 증가하므로, $t\ne s$일 때 접점과 추가 교점이 하나씩 생겨요. $t=s$에서는 이 두 점이 합쳐져 오른쪽 교점은 하나입니다.
즉, $u,v$에서 좌우의 개수가 달라지고, $r,s$에서는 그 점에서만 개수가 하나 작아져요.
3단계: 조건으로 $a$를 결정해요
$$g(5)+\lim_{t\to5}g(t)=5$$
에서 양쪽 극한이 존재하므로 $5$는 $u,v$가 아닙니다. 일반적인 점에서는 두 값이 같아 합이 짝수예요. 홀수 $5$가 되려면 표에서 $g(s)=2$, 주변 값이 $3$인 $s=5$여야 합니다. 따라서
$$f''(5)=0\quad\Longrightarrow\quad25-5(a+4)+2a+2=0\quad\Longrightarrow\quad a=\frac73.$$
이때 변곡점은 $r=4/3$, $s=5$이므로 실제로 조건 $2+3=5$를 만족해요.
4단계: 좌극한과 우극한이 다른 지점을 찾아요
표에서 해당하는 지점은 $u,v$뿐입니다. 두 근은
$$3x^2-13x+7=0$$
의 근이므로
$$u+v=\frac{13}{3}=\frac qp.$$
따라서 $p=3$, $q=13$입니다.
검산
$a=7/3$을 이계도함수에 대입하면 그 이차식은 $(x-4/3)(x-5)$입니다. $r=4/3$의 좌우에서는 모두 $g=2$, $s=5$의 좌우에서는 모두 $g=3$이므로 두 변곡점은 구하는 $k$에 포함되지 않아요.
답
$$p+q=16$$
확인해보기
변곡점에서는 $g$가 불연속인데도 왜 이 문제에서 구하는 $k$에 해당하지 않는지, 좌극한과 우극한을 비교해서 설명해 볼까요?