어떤 문제인가
곡선 위의 점에서 그은 접선이 곡선과 몇 번 만나는지를 세고, 그 개수 함수 $g(t)$가 불연속이 되는 지점을 찾는 문제예요. $f(x)=\dfrac{x^2-ax}{e^x}=(x^2-ax)e^{-x}$에 대해 방정식 $f(x)=f'(t)(x-t)+f(t)$는 **점 $(t,f(t))$에서의 접선과 곡선 $y=f(x)$의 교점**을 묻는 것이고, $g(t)$는 그 교점(접점 포함)의 개수입니다.
이 문제의 열쇠는 곡선의 개형이에요.
- $f'(x)=(-x^2+(a+2)x-a)e^{-x}$ : 극값은 $x^2-(a+2)x+a=0$의 두 근 $x_1<x_2$에서 생겨요.
- $f''(x)=(x^2-(a+4)x+2a+2)e^{-x}$ : 변곡점은 $x^2-(a+4)x+2a+2=0$의 두 근 $\alpha<\beta$에서 생기는데, 판별식이 $a^2+8>0$이므로 항상 2개입니다.
- $x\to-\infty$에서 $f\to+\infty$, $x\to+\infty$에서 $f\to0^+$이므로 $y=0$이 점근선이에요. 개형은 (볼록·감소) $\to$ 극소 $x_1$ ($f(x_1)<0$, 전역 최소) $\to$ 변곡 $\alpha$ $\to$ 극대 $x_2$ ($f(x_2)>0$) $\to$ 변곡 $\beta$ $\to$ 0으로 감소하는 모양입니다.
$g(t)$의 값이 바뀌는 사건은 두 종류예요.
- 접선 기울기의 부호 변화 ($t=x_1,\ x_2$): $f'(t)>0$이면 접선이 $x\to+\infty$에서 $+\infty$로 발산하여 점근선 $y=0$으로 가는 곡선 꼬리와 반드시 한 번 더 만나고, $f'(t)<0$이면 그 교점이 사라져요. 따라서 $t=x_1,x_2$를 지날 때 $g$가 1만큼 점프합니다(좌·우극한이 서로 달라요).
- 변곡점 ($t=\alpha,\beta$): 접선이 접점에서 곡선을 관통(삼중근)하고, 근방의 $t$에서는 접점 바로 옆에 있던 교점이 변곡점에서 접점으로 흡수돼요. 그 점에서만 $g$가 1 작아지는 고립점이 생기며 좌·우극한은 서로 같습니다(따라서 $k$에 해당하지 않아요).
단계별 풀이
- **조건 $g(5)+\lim_{t\to5}g(t)=5$로 $a$를 결정해요.** $\lim_{t\to5}g(t)$가 존재한다고 했으므로 $t=5$는 점프점($x_1,x_2$)이 아니에요. $t=5$가 일반적인 점이면 $g(5)=\lim_{t\to5}g(t)$가 되어 합이 짝수인데, 조건의 합은 홀수 5이므로 $t=5$는 $g$의 값이 극한과 다른 고립점, 즉 변곡점이어야 합니다. 이때 $g(5)=\lim_{t\to5}g(t)-1$이므로
$$2g(5)+1=5 \quad\Rightarrow\quad g(5)=2,\ \lim_{t\to5}g(t)=3.$$
$x=5$가 변곡점이려면
$$25-5(a+4)+2a+2=0 \;\Rightarrow\; 7-3a=0 \;\Rightarrow\; a=\frac{7}{3}.$$
확인해 보면, $a=\frac73$일 때 변곡점은 $3x^2-19x+20=0$의 근 $x=\dfrac43,\ 5$이므로 $t=5$는 둘째 변곡점이고, $t=5$에서의 접선은 곡선과 $x=5$(삼중근) 외에 왼쪽 볼록 가지에서 정확히 한 번($x\approx-0.105$) 만나 $g(5)=2$, 근방에서는 $g=3$이 되어 조건이 성립해요. (다른 $a$에서는 합이 4 또는 6이 되어 불가능해요 — 검산 참조.)
- **$a=\dfrac73$에서 $g(t)$의 전체 구조를 파악해요.** 극점은 $x^2-\dfrac{13}{3}x+\dfrac73=0$, 즉 $3x^2-13x+7=0$의 두 근
$$x_1=\frac{13-\sqrt{85}}{6}\approx0.6301,\qquad x_2=\frac{13+\sqrt{85}}{6}\approx3.7033$$
입니다.
- $t<x_1$ ($f'(t)<0$, 볼록 구간): 접선은 곡선 전체의 아래에 있어 $g(t)=1$이에요. ($t=x_1$에서도 수평접선 $y=f(x_1)$은 전역 최소 높이이므로 $g(x_1)=1$입니다.)
- $x_1<t<x_2$ ($f'(t)>0$): 접선이 오른쪽에서 $+\infty$로 발산하며 곡선을 한 번 더 관통하므로 $g(t)=2$예요. 단, 변곡점 $t=\dfrac43$에서만 그 교점이 접점에 흡수되어 $g\left(\dfrac43\right)=1$입니다(고립점, 좌우극한은 모두 2).
- $t>x_2$ ($f'(t)<0$): 접점 외에 왼쪽 가지 1개 + 산봉우리 상승부 1개, 총 $g(t)=3$이에요. 단, 변곡점 $t=5$에서만 $g(5)=2$입니다(고립점, 좌우극한은 모두 3).
- **좌극한 $\neq$ 우극한인 $k$를 찾아요.**
- $k=x_1$: $\lim_{t\to x_1^-}g=1\neq2=\lim_{t\to x_1^+}g$ — 해당해요.
- $k=x_2$: $\lim_{t\to x_2^-}g=2\neq3=\lim_{t\to x_2^+}g$ — 해당해요.
- $k=\dfrac43,\ 5$: 고립점이라 좌·우극한이 서로 같아요(각각 2, 3) — 해당하지 않아요.
따라서 모든 $k$의 합은 근과 계수의 관계로
$$x_1+x_2=\frac{13-\sqrt{85}}{6}+\frac{13+\sqrt{85}}{6}=\frac{13}{3}=\frac{q}{p}$$
이고, $p=3$, $q=13$은 서로소이므로 $p+q=16$입니다.
검산
접선과 곡선의 교점을 구간 $[-80,\ \text{적응적 상한}]$에서 부호변화+이분법으로 전수 계산하는 수치 실험(node)으로 확인했어요. 여러분은 $a=\frac73$을 $x^2-(a+4)x+2a+2=0$에 다시 넣어 $x=5$가 실제로 근인지, 그리고 $x_1+x_2=\frac{13}{3}$이 근과 계수의 관계와 맞는지 따라 확인해 보면 됩니다.
- $a$ 스캔: $a=0.5\sim3$이면 $g(5)+\lim=3+3=6$, $a\ge4$이면 $2+2=4$가 돼요. 오직 $a=\dfrac73$에서 $g(5)=2$ (근: $-0.105,\ 5$(삼중)), $g(5\pm10^{-3})=3$이 되어 $2+3=5$로 조건과 일치했어요.
- $t$ 전 구간 스캔($-30\le t\le60$): $g$는 $t<x_1$에서 1, $(x_1,x_2)$에서 2, $t>x_2$에서 3으로 확인됐고, 고립점 $g\left(\dfrac43\right)=1$, $g(5)=2$도 재현됐어요.
- 점프 위치 정밀 확인: $t=x_1+10^{-3}$에서 새 교점이 $x\approx350.3$에, $t=x_2+10^{-3}$에서 $x\approx1655.6$에 나타났어요 — 기울기가 $0$에 가까울 때 교점이 무한대 쪽에서 나타나는 구조로, 점프가 정확히 임계점 $x_1, x_2$에서 일어남을 확인했습니다(예측값 $t+|f(t)/f'(t)|$와 일치).
- 합: $x_1+x_2\approx0.63008+3.70326=4.33333=\dfrac{13}{3}$으로 일치해요.
답
$$p+q=3+13=16$$
확인해보기
변곡점 $t=\dfrac43$과 $t=5$에서는 $g$의 값이 주변과 다른데도 왜 $k$의 후보에서 제외되는지, 좌극한과 우극한을 비교해서 설명해 볼까요?