어떤 문제인가
이 문제는 거듭제곱근과 분수 모양의 지수가 섞여 있는 식을 간단히 정리하여 값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음 3가지입니다:
- 음수의 거듭제곱: 음수를 짝수 번 곱하면 양수가 됩니다. 즉, $(-a)^{짝수} = a^{짝수}$입니다.
- 지수법칙: $(a^m)^n = a^{mn}$ 이고, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ 입니다.
- 거듭제곱근과 지수의 관계: $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$ 이며, 밑을 소인수분해하여 통일하면 계산이 훨씬 쉬워집니다.
단계별 풀이
1단계: 첫 번째 항 $(-\sqrt{2})^4$ 간단히 하기
먼저 식의 앞부분인 $(-\sqrt{2})^4$을 정리해 봅시다.
괄호 안의 부호가 마이너스($-$)이지만, 지수가 $4$로 짝수이기 때문에 결과는 플러스($+$)가 됩니다.
$$(-\sqrt{2})^4 = (\sqrt{2})^4$$
이제 루트($\sqrt{}$)를 분수 지수로 바꾸어 표현해 봅시다. $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$이므로 지수법칙을 적용할 수 있습니다.
$$(\sqrt{2})^4 = \left(2^{\frac{1}{2}}\right)^4 = 2^{\frac{1}{2} \times 4} = 2^2 = 4$$
첫 번째 항의 값은 **$4$**가 되었습니다.
2단계: 두 번째 항 $8^{-\frac{2}{3}}$ 간단히 하기
이번에는 식의 뒷부분인 $8^{-\frac{2}{3}}$을 정리해 봅시다.
밑인 $8$을 소인수분해하면 $8 = 2^3$으로 나타낼 수 있습니다. 밑을 $2$로 통일하기 위해 이를 대입해 봅니다.
$$8^{-\frac{2}{3}} = \left(2^3\right)^{-\frac{2}{3}}$$
지수법칙에 의해 두 지수를 곱해줍니다.
$$2^{3 \times \left(-\frac{2}{3}\right)} = 2^{-2}$$
지수에 붙은 마이너스($-$)는 역수를 의미하므로, 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
$$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$$
두 번째 항의 값은 **$\frac{1}{4}$**이 되었습니다.
3단계: 두 값을 곱하여 최종 결과 구하기
이제 구한 두 값을 곱해줍니다.
$$(-\sqrt{2})^4 \times 8^{-\frac{2}{3}} = 4 \times \frac{1}{4} = 1$$
답
**① $1$**
확인해보기
오늘 배운 지수법칙을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 식의 값은 무엇일까요? (직접 종이에 풀이 과정을 적어보세요!)
$$9^{-\frac{1}{2}} \times (-\sqrt{3})^2$$