어떤 문제인가
이 문제는 원에 내접하는 사각형과 삼각형의 성질을 이용하여 선분 $MD$의 길이를 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 단계별로 적용할 것입니다.
- 코사인법칙: 삼각형에서 두 변의 길이와 그 끼인각의 코사인 값을 알 때, 나머지 한 변의 길이를 구할 수 있습니다.
- 중선정리 (파푸스의 정리): 삼각형의 한 꼭짓점에서 대변의 중점을 이은 선분(중선)의 길이를 구할 때 유용하게 쓰입니다.
- 원에서의 방멱의 정리 (현의 성질): 원 내부에서 두 현이 만날 때 생기는 선분들 사이의 곱의 관계를 이용합니다.
단계별 풀이
1단계: 선분 $AC$의 길이 구하기
먼저 삼각형 $ABC$에서 주어진 조건들을 이용해 변 $AC$의 길이를 구해보겠습니다.
우리가 알고 있는 값은 다음과 같습니다.
- $\overline{\text{AB}} = 3$
- $\overline{\text{BC}} = 2$
- $\cos(\angle\text{BAC}) = \frac{7}{8}$
구하고자 하는 선분 $AC$의 길이를 $x$라고 합시다. 삼각형 $ABC$에서 각 $A$($\angle\text{BAC}$)에 대해 코사인법칙을 적용하면 다음과 같은 식을 세울 수 있습니다.
$$\overline{\text{BC}}^2 = \overline{\text{AB}}^2 + \overline{\text{AC}}^2 - 2 \cdot \overline{\text{AB}} \cdot \overline{\text{AC}} \cdot \cos(\angle\text{BAC})$$
여기에 알고 있는 값들을 대입해 볼까요?
$$2^2 = 3^2 + x^2 - 2 \cdot 3 \cdot x \cdot \frac{7}{8}$$
$$4 = 9 + x^2 - \frac{21}{4}x$$
양변에 4를 곱해서 분수를 없애고 식을 정리해 봅시다.
$$16 = 36 + 4x^2 - 21x$$
$$4x^2 - 21x + 20 = 0$$
이 이차방정식을 인수분해하면 다음과 같습니다.
$$(4x - 5)(x - 4) = 0$$
따라서 $x = \frac{5}{4}$ 또는 $x = 4$가 됩니다.
그런데 문제 조건에서 $\overline{\text{AC}} > 3$이라고 했으므로, 우리가 찾는 선분 $AC$의 길이는 다음과 같습니다.
$$\overline{\text{AC}} = 4$$
2단계: 선분 $AM$, $MC$, $BM$의 길이 구하기
점 $M$은 선분 $AC$의 중점이라고 했습니다. 따라서 $AM$과 $MC$의 길이는 $AC$ 길이의 절반입니다.
$$\overline{\text{AM}} = \overline{\text{MC}} = \frac{4}{2} = 2$$
이제 삼각형 $ABC$에서 중선 $BM$의 길이를 구하기 위해 중선정리(파푸스의 정리)를 사용해 봅시다.
$$\overline{\text{AB}}^2 + \overline{\text{BC}}^2 = 2(\overline{\text{BM}}^2 + \overline{\text{AM}}^2)$$
구한 값들을 대입해 보겠습니다.
$$3^2 + 2^2 = 2(\overline{\text{BM}}^2 + 2^2)$$
$$9 + 4 = 2(\overline{\text{BM}}^2 + 4)$$
$$13 = 2\overline{\text{BM}}^2 + 8$$
$$2\overline{\text{BM}}^2 = 5$$
$$\overline{\text{BM}}^2 = \frac{5}{2}$$
따라서 $\overline{\text{BM}}$의 길이는 다음과 같습니다.
$$\overline{\text{BM}} = \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$$
3단계: 방멱의 정리를 이용해 선분 $MD$의 길이 구하기
그림을 보면 원 안에서 두 현 $AC$와 $BD$가 점 $M$에서 서로 교차하고 있습니다.
원 안에서 두 현이 만날 때, 교점에 의해 나누어진 선분들의 곱은 서로 같습니다. 이를 방멱의 정리라고 합니다.
$$\overline{\text{AM}} \cdot \overline{\text{MC}} = \overline{\text{BM}} \cdot \overline{\text{MD}}$$
우리가 구한 값들을 이 식에 대입하여 $\overline{\text{MD}}$의 길이를 구해봅시다.
$$2 \cdot 2 = \frac{\sqrt{10}}{2} \cdot \overline{\text{MD}}$$
$$4 = \frac{\sqrt{10}}{2} \cdot \overline{\text{MD}}$$
양변에 $\frac{2}{\sqrt{10}}$를 곱해주면,
$$\overline{\text{MD}} = \frac{8}{\sqrt{10}}$$
분모를 유리화하면 다음과 같습니다.
$$\overline{\text{MD}} = \frac{8\sqrt{10}}{10} = \frac{4\sqrt{10}}{5}$$
답
정답은 ③ $\frac{4\sqrt{10}}{5}$ 입니다.
확인해보기
만약 점 $M$이 선분 $AC$의 중점이 아니라, 선분 $AC$를 $1:3$으로 내분하는 점이었다면(즉, $\overline{\text{AM}}:\overline{\text{MC}} = 1:3$), 마지막 3단계에서 사용한 방멱의 정리 식은 어떻게 변하게 될지 스스로 생각해 보세요!