어떤 문제인가
이 문제는 수직선 위를 움직이는 두 점의 속도가 주어졌을 때, 한 점의 위치 변화를 통해 특정 시각을 구하고, 그 시각까지 다른 점이 움직인 거리를 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 꼭 넣어야 할 핵심 개념은 다음 3가지입니다.
- 속도와 위치의 관계: 속도를 적분하면 위치(또는 위치의 변화량)가 됩니다.
- 원점으로 돌아온다: 처음 출발한 위치인 $0$으로 다시 돌아오는 것이므로, **위치 $x(t) = 0$**이 되는 순간을 찾는 것입니다.
- 움직인 거리: 방향에 상관없이 실제로 이동한 총 길이를 뜻하므로, 속도의 절댓값(속력)을 적분해야 합니다.
단계별 풀이
1단계: 점 $\mathrm{P}$가 원점으로 돌아오는 시각 $t$ 구하기
점 $\mathrm{P}$가 원점으로 돌아왔다는 것은 점 $\mathrm{P}$의 위치가 다시 $0$이 되었다는 뜻입니다. 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 위치를 $x_1(t)$라고 하고 이를 구해봅시다.
위치는 속도를 적분하여 구합니다. 점 $\mathrm{P}$의 속도가 $v_1(t) = 2-t$이므로,
$$x_1(t) = \int (2-t) dt = 2t - \frac{1}{2}t^2 + C$$
(여기서 $C$는 적분상수입니다.)
출발할 때($t=0$)의 위치가 원점($0$)이라고 했으므로, $x_1(0) = 0$입니다. 따라서 적분상수 $C = 0$이 됩니다.
$$x_1(t) = 2t - \frac{1}{2}t^2$$
이제 점 $\mathrm{P}$가 원점으로 돌아오는 시각($x_1(t) = 0$)을 구합니다. (단, 출발한 후이므로 $t > 0$입니다.)
$$2t - \frac{1}{2}t^2 = 0$$
$$t\left(2 - \frac{1}{2}t\right) = 0$$
이 식을 만족하는 $t$는 $t=0$ 또는 $t=4$입니다.
따라서 점 $\mathrm{P}$가 원점으로 돌아오는 시각은 **$t=4$**입니다.
2단계: $t=0$부터 $t=4$까지 점 $\mathrm{Q}$가 움직인 거리 구하기
우리가 구해야 하는 것은 $t=0$부터 $t=4$까지 점 $\mathrm{Q}$가 움직인 거리입니다.
움직인 거리는 속도 $v_2(t)$의 절댓값을 적분해야 합니다. 점 $\mathrm{Q}$의 속도는 $v_2(t) = 3t$입니다.
우리가 관찰하는 시간 범위 $0 \le t \le 4$에서 $3t \ge 0$이므로, 절댓값을 그냥 벗겨낼 수 있습니다. 즉, 이 구간에서 점 $\mathrm{Q}$는 양의 방향으로만 움직였습니다.
따라서 움직인 거리 $S$는 다음과 같이 정적분으로 구합니다.
$$S = \int_{0}^{4} |3t| dt = \int_{0}^{4} 3t dt$$
이제 적분을 계산해 봅시다.
$$S = \left[ \frac{3}{2}t^2 \right]_{0}^{4}$$
$$S = \frac{3}{2}(4)^2 - \frac{3}{2}(0)^2$$
$$S = \frac{3}{2} \times 16 = 24$$
출발해서 점 $\mathrm{P}$가 원점으로 돌아올 때까지($t=4$), 점 $\mathrm{Q}$가 움직인 거리는 $24$입니다.
답
⑤ $24$
확인해보기
질문: 만약 어떤 물체의 속도가 $v(t) = 2t - 4$일 때, 시각 $t=0$부터 $t=3$까지 이 물체의 '위치의 변화량(변위)'과 '실제 움직인 거리'는 각각 어떻게 다를까요? 식을 세워 차이점을 생각해 보세요.