어떤 문제인가
이 문제는 공차가 주어진 등차수열에서 두 가지 조건(곱의 부호, 절댓값의 합)을 만족하는 특정 항의 값을 구하는 문제입니다. 문제를 풀기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 것입니다.
- 등차수열의 일반항과 성질: 공차가 양수($d>0$)이면 항의 번호가 커질수록 값도 커집니다(증가수열).
- 절댓값 기호의 성질: 절댓값 안의 수가 양수(또는 0)이면 그대로 나오고, 음수이면 마이너스($-$)를 붙여서 양수로 만듭니다.
- 기준 항을 설정하여 식 단순화하기: 모든 항을 첫째항 $a_1$으로 나타내기보다, 문제의 중심이 되는 항(여기서는 $a_6$)을 기준으로 식을 세우면 계산이 훨씬 간단해집니다.
단계별 풀이
1단계: 조건 (가)를 통해 수열의 부호 파악하기
조건 (가)는 $a_5 \times a_7 < 0$입니다. 두 수의 곱이 음수라는 것은 두 수의 부호가 서로 다르다는 뜻입니다.
문제에서 공차 $d = 3$으로 양수라고 했으므로, 이 수열은 항이 진행될수록 값이 커지는 증가수열입니다. 즉, $a_5 < a_7$입니다.
따라서 부호가 다르면서 $a_5$가 더 작아야 하므로 다음과 같은 결론을 얻을 수 있습니다.
$$a_5 < 0 \quad \text{그리고} \quad a_7 > 0$$
여기서 우리는 기준이 되는 항을 $a_6$으로 잡아볼게요. 공차가 $3$이므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
- $a_5 = a_6 - 3 < 0 \implies a_6 < 3$
- $a_7 = a_6 + 3 > 0 \implies a_6 > -3$
즉, $a_6$의 범위는 **$-3 < a_6 < 3$**이 됩니다. 이 범위를 꼭 기억해 두세요!
2단계: 조건 (나)의 좌변 정리하기
조건 (나)의 좌변은 다음과 같습니다.
$$\sum_{k=1}^{6} |a_{k+6}| = |a_7| + |a_8| + |a_9| + |a_{10}| + |a_{11}| + |a_{12}|$$
우리는 1단계에서 $a_7 > 0$임을 알았습니다. 수열이 증가수열이므로 $a_7$ 이후의 모든 항($a_8, a_9, \dots, a_{12}$)도 전부 양수입니다.
따라서 좌변의 절댓값 기호는 모두 그냥 벗겨집니다!
$$\text{좌변} = a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} + a_{11} + a_{12}$$
계산을 편리하게 하기 위해 모든 항을 $a_6$을 기준으로 표현해 봅시다.
- $a_7 = a_6 + 3$
- $a_8 = a_6 + 6$
- $a_9 = a_6 + 9$
- $a_{10} = a_6 + 12$
- $a_{11} = a_6 + 15$
- $a_{12} = a_6 + 18$
이 식들을 모두 더하면 다음과 같습니다.
$$\text{좌변} = 6a_6 + (3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18) = 6a_6 + 63$$
3단계: 조건 (나)의 우변 정리하기 (경우 나누기)
조건 (나)의 우변은 다음과 같습니다.
$$6 + \sum_{k=1}^{6} |a_{2k}| = 6 + (|a_2| + |a_4| + |a_6| + |a_8| + |a_{10}| + |a_{12}|)$$
각 항의 부호를 판별해 봅시다.
- $a_5 < 0$이므로, 이보다 작은 $a_2, a_4$는 확실히 음수입니다. $\implies |a_2| = -a_2$, $|a_4| = -a_4$
- $a_7 > 0$이므로, 이보다 큰 $a_8, a_{10}, a_{12}$는 확실히 양수입니다. $\implies |a_8| = a_8$, $|a_{10}| = a_{10}$, $|a_{12}| = a_{12}$
- 그런데 **$a_6$의 부호**는 아직 확실하지 않습니다. ($-3 < a_6 < 3$ 범위에 있으니까요.)
따라서 $a_6$의 부호에 따라 두 가지 경우로 나누어 풀어야 합니다.
[경우 1] $a_6 \ge 0$ 일 때
이 경우 $|a_6| = a_6$이 됩니다. 우변의 절댓값을 풀어서 정리해 봅시다.
$$\text{우변} = 6 + (-a_2 - a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} + a_{12})$$
모든 항을 $a_6$으로 나타내면:
- $-a_2 = -(a_6 - 12) = -a_6 + 12$
- $-a_4 = -(a_6 - 6) = -a_6 + 6$
- $a_6 = a_6$
- $a_8 = a_6 + 6$
- $a_{10} = a_6 + 12$
- $a_{12} = a_6 + 18$
괄호 안을 모두 더하면:
$$(-a_6 + 12) + (-a_6 + 6) + a_6 + (a_6 + 6) + (a_6 + 12) + (a_6 + 18) = 2a_6 + 54$$
따라서, $\text{우변} = 6 + (2a_6 + 54) = 2a_6 + 60$이 됩니다.
이제 좌변과 우변이 같다고 식을 세웁니다.
$$6a_6 + 63 = 2a_6 + 60$$
$$4a_6 = -3 \implies a_6 = -\frac{3}{4}$$
하지만 우리는 처음에 $a_6 \ge 0$이라고 가정했습니다. 구한 값 $a_6 = -\frac{3}{4}$은 음수이므로 가정에 모순이 됩니다. 즉, 이 경우는 답이 될 수 없습니다.
[경우 2] $a_6 < 0$ 일 때
이 경우 $|a_6| = -a_6$이 됩니다. 우변의 절댓값을 풀어봅시다.
$$\text{우변} = 6 + (-a_2 - a_4 - a_6 + a_8 + a_{10} + a_{12})$$
마찬가지로 $a_6$으로 나타내어 더해봅시다.
$$(-a_6 + 12) + (-a_6 + 6) - a_6 + (a_6 + 6) + (a_6 + 12) + (a_6 + 18) = 54$$
($a_6$ 항들이 서로 상쇄되어 사라집니다!)
따라서, $\text{우변} = 6 + 54 = 60$이 됩니다.
이제 좌변과 우변이 같다고 식을 세웁니다.
$$6a_6 + 63 = 60$$
$$6a_6 = -3 \implies a_6 = -\frac{1}{2}$$
우리가 가정한 $a_6 < 0$을 만족하며, 1단계에서 구한 범위 $-3 < a_6 < 3$에도 잘 들어맞습니다! 따라서 **$a_6 = -\frac{1}{2}$**이 맞습니다.
4단계: $a_{10}$의 값 구하기
이제 마지막 단계입니다. 구하고자 하는 값은 $a_{10}$입니다.
$$a_{10} = a_6 + 4d$$
여기에 $a_6 = -\frac{1}{2}$과 $d = 3$을 대입합니다.
$$a_{10} = -\frac{1}{2} + 4 \times 3 = -\frac{1}{2} + 12 = \frac{23}{2}$$
답
정답은 **③ $\frac{23}{2}$** 입니다.
확인해보기
공차가 양수가 아니라 음수인 경우를 생각해 봅시다.
> 만약 어떤 등차수열의 공차가 $d = -3$이고, 조건 (가)와 같이 $a_5 \times a_7 < 0$을 만족한다면, $a_5$와 $a_7$의 부호는 각각 어떻게 되어야 할까요? 그 이유를 등차수열의 성질과 연결 지어 설명해 보세요.