어떤 문제인가
이 문제는 지수함수의 그래프 위에서 규칙적으로 움직이는 점들의 좌표를 구하고, 그 좌표들이 이루는 수열의 규칙성을 찾아내는 문제입니다. 최종적으로는 특정 부등식을 만족하는 '최솟값' 조건을 이용해 자연수 $k$의 개수를 구해야 합니다.
이 문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 지수함수의 그래프와 좌표: 곡선 위의 점의 $x$좌표와 $y$좌표 사이의 관계 이해하기
- 등비수열의 일반항: 좌표들이 일정한 비율로 줄어드는 규칙성(등비수열)을 파악하기
- 조건을 만족하는 범위 구하기: "최솟값이 $6$이다"라는 조건이 뜻하는 부등식 세우기
단계별 풀이
1단계: 첫 번째 점 $Q_1$의 $x$좌표 $x_1$ 구하기
시작점 $\mathrm{A}(64, 2^{64})$에서 출발하여 첫 번째 단계의 점들의 좌표를 차근차근 구해봅시다.
- **점 $\mathrm{P}_1$ 구하기**:
점 $\mathrm{P}_1$은 점 $\mathrm{A}$를 지나며 $x$축과 평행한 직선 위에 있으므로, 점 $\mathrm{A}$와 $y$좌표가 같습니다. 즉, $\mathrm{P}_1$의 $y$좌표는 $2^{64}$입니다.
이 점은 곡선 $y=16^x$ 위에 있으므로, $x$좌표를 구하기 위해 식을 세우면 다음과 같습니다.
$$16^x = 2^{64}$$
$16 = 2^4$이므로 밑을 $2$로 통일해 줍니다.
$$(2^4)^x = 2^{64} \implies 2^{4x} = 2^{64}$$
지수끼리 비교하면 $4x = 64$이므로, $x = 16$입니다.
따라서 점 $\mathrm{P}_1$의 좌표는 $(16, 2^{64})$입니다.
- **점 $\mathrm{Q}_1$ 구하기**:
점 $\mathrm{Q}_1$은 점 $\mathrm{P}_1$을 지나며 $y$축과 평행한 직선 위에 있으므로, 점 $\mathrm{P}_1$과 $x$좌표가 같습니다. 즉, $x$좌표는 $16$입니다.
이 점은 곡선 $y=2^x$ 위에 있으므로, $y$좌표는 $2^{16}$이 됩니다.
따라서 점 $\mathrm{Q}_1$의 좌표는 $(16, 2^{16})$이며, 점 $\mathrm{Q}_1$의 $x$좌표인 $x_1$은 다음과 같습니다.
$$x_1 = 16$$
2단계: 두 번째 점 $Q_2$의 $x$좌표 $x_2$를 구하고 규칙성 찾기
같은 방법으로 한 번 더 과정을 반복하여 규칙성을 찾아봅시다.
- **점 $\mathrm{P}_2$ 구하기**:
점 $\mathrm{P}_2$는 점 $\mathrm{Q}_1(16, 2^{16})$과 $y$좌표가 같으므로 $y$좌표는 $2^{16}$입니다.
곡선 $y=16^x$ 위에 있으므로:
$$16^x = 2^{16} \implies 2^{4x} = 2^{16} \implies 4x = 16 \implies x = 4$$
따라서 점 $\mathrm{P}_2$의 좌표는 $(4, 2^{16})$입니다.
- **점 $\mathrm{Q}_2$ 구하기**:
점 $\mathrm{Q}_2$는 점 $\mathrm{P}_2$와 $x$좌표가 같으므로 $x$좌표는 $4$입니다.
따라서 점 $\mathrm{Q}_2$의 $x$좌표인 $x_2$는 다음과 같습니다.
$$x_2 = 4$$
- 규칙성(일반항) 발견하기:
$x_1 = 16$이고, $x_2 = 4$입니다. $x$좌표가 다음 단계로 넘어갈 때마다 $\frac{1}{4}$배가 되는 것을 알 수 있습니다.
실제로 $x_{n-1}$에서 $x_n$으로 갈 때, $y$좌표가 $2^{x_{n-1}}$로 같아지고, 이를 $16^x = 2^{4x}$에 대입하므로 $4x_n = x_{n-1} \implies x_n = \frac{1}{4}x_{n-1}$이 성립합니다.
따라서 수열 $\{x_n\}$은 첫째항이 $16$이고 공비가 $\frac{1}{4}$인 등비수열입니다.
$$x_n = 16 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} = 4^2 \cdot 4^{-(n-1)} = 4^{3-n}$$
3단계: "최솟값이 6"이라는 조건 해석하기
문제에서 $x_n < \frac{1}{k}$을 만족시키는 **$n$의 최솟값이 $6$**이라고 했습니다.
이 말은 아주 중요한 의미를 담고 있습니다.
- $n=6$일 때는 부등식이 성립한다. ($\implies x_6 < \frac{1}{k}$)
- $n=5$일 때(6보다 작은 자연수일 때)는 부등식이 성립하지 않는다. ($\implies x_5 \ge \frac{1}{k}$)
이 두 조건을 동시에 만족하는 범위를 구해야 합니다. 즉, 다음과 같은 연립부등식이 만들어집니다.
$$x_6 < \frac{1}{k} \le x_5$$
4단계: 자연수 $k$의 개수 구하기
위에서 구한 일반항 $x_n = 4^{3-n}$을 이용하여 $x_5$와 $x_6$의 값을 구해봅시다.
$$x_5 = 4^{3-5} = 4^{-2} = \frac{1}{16}$$
$$x_6 = 4^{3-6} = 4^{-3} = \frac{1}{64}$$
이를 부등식에 대입합니다.
$$\frac{1}{64} < \frac{1}{k} \le \frac{1}{16}$$
모든 변이 양수이므로, 역수를 취하면 부등호의 방향이 바뀝니다.
$$16 \le k < 64$$
이 범위를 만족하는 자연수 $k$의 개수를 구합니다.
$$k = 16, 17, 18, \dots, 63$$
개수는 $63 - 16 + 1 = 48$개입니다.
답
① $48$
확인해보기
만약 문제의 조건이 "$x_n < \frac{1}{k}$을 만족시키는 $n$의 최솟값이 **$5$**가 되도록 하는 자연수 $k$의 개수"로 바뀐다면, 자연수 $k$의 범위는 어떻게 설정해야 할까요? (직접 식을 세워 범위를 생각해보세요.)